Wartości i wektory własne macierzy zespolonej

[8_sigi_8]

Witam, mam do wyznaczenia kilka wartości i wektorów własnych operatorów:
A = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&ei&0\\-ei&0&0\\0&0&-1\end{array}\right]}\)

zatem: \(\displaystyle{ [A-E I]=0}\)
i otrzymuje wartości własne
zdegenerowaną: \(\displaystyle{ E1= e}\)
i drugą normalną \(\displaystyle{ E2 = -e}\)
takim sposobem w dalszym wyznaczaniu wektorów własnych wychodzi mi sprzeczność.
po podstawieniu otrzymuje wynik zależny od tego które pierwsze podstawię.
Co w moim rozumowaniu jest nie tak?

[SidCom]

Zbiór wartości własnych to: \(\displaystyle{ \{-1,e,-e\}}\)

[8_sigi_8]

Popełniłem bład w zapisie zamiast \(\displaystyle{ -1}\) miało być \(\displaystyle{ -e}\)
wtedy wlasności własne to \(\displaystyle{ e ,-e, -e}\)
Zatem wektory własne to
dla \(\displaystyle{ -e \begin{bmatrix} -i\\1\\0\end{bmatrix}}\)
dla \(\displaystyle{ e\begin{bmatrix} i\\1\\0\end{bmatrix}}\)
teraz jest dobrze?

[SidCom]

leider nicht

dla \(\displaystyle{ \lambda=e}\) mamy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -i\\-1\\0\end{bmatrix}}\)

dla \(\displaystyle{ \lambda=-e}\) mamy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} i\\-1\\0\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\0\\-1\end{bmatrix}}\)

[8_sigi_8]

Mam jeszcze jedno pytanie.
Skoro mamy pewną dowolność określoną przez równanie zależności pomiedzy składowymi \(\displaystyle{ x, y, z}\) to jeśli na z \(\displaystyle{ z}\) wychodzi \(\displaystyle{ 0=0}\) to dlaczego ma to być równe \(\displaystyle{ 0}\) bądź \(\displaystyle{ 1}\)

drugie pytanie.
Jak wyznaczyć iloczyn zewnętrzny iloczynu skalarnego?
(ogólny wzór)
\(\displaystyle{ |x> <y| = ?}\)

Wiem że:
\(\displaystyle{ <x| =(( |x> )^{*}) ^{T})}\)
ale też iloczyn skalarny nie jest przemienny stąd moje pytanie...