Układ równań.

[Teson]

Mam problem z układem równań poniżej.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)

Wpisałem go na WolframAlpha i powinno wyjść, że \(\displaystyle{ x=1 \ i \ y=1}\)

Intryguje mnie, że chciałem sobie ułatwić na początku liczenie i usunąłem w obu przypadkach to co jest pod kreską ułamkową tak, że miałem taki zapis:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x^{2}+3x-2y^{2}+y =0\\\ x^{2}+x+y^{2}-3y =0\end{cases}}\)

W tym przypadku WolframAlpha ukazuje 2 rozwiązania tj. \(\displaystyle{ x=0 \ i \ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=1 \ i \ y=1}\)

Teraz nie wiem, której wersji się trzymać. Wyliczenie punktów jest ważne z tego względu, że ten układ równań jest częścią zadania z ekstremum lokalnych, w których muszę znaleźć punkty stacjonarne.

Będę wdzięczny za pomoc.

[kerajs]

Oczywiście pierwszej wersji. Punkt (0,0) nie należy do dziedzin tych pochodnych, a pewnie i funkcji z której te pochodne liczyłeś.

[Teson]

Więc tak.
Pochodną pierwszego rzędu po x i y liczyłem z tej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x,y) = x-2y+ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}+3arctg \frac{y}{x}}\)

Pochodna po \(\displaystyle{ x}\) to: \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}}}\)

Pochodna po \(\displaystyle{ y}\) to: \(\displaystyle{ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}}\)

W pierwszym poście przez przypadek zmieniłem kolejność tego układu.
Jednak nadal nie potrafię zrobić dobrze oraz w miarę szybko takiego układu równań, a coś mi świta, że potrzebne tu będzie równanie koła, żeby ten punkt znaleźć.

[kerajs]

Jest kilka sposobów jak znaleźć część wspólną dwóch okręgów. Najszybszym chyba jest odjęcie równań od siebie w układzie : \(\displaystyle{ x^2+x+y^2-3y=0 \wedge x^2- \frac{3}{2} x+y^2- \frac{1}{2} y=0}\) otrzymując układ z równaniem liniowym : \(\displaystyle{ x^2+x+y^2-3y=0 \wedge \frac{5}{2} x- \frac{5}{2} y=0}\) rozwiązywany przez podstawianie.

[Teson]

Przepraszam, wiem że wychodzę teraz na półgłówka, jednak nie wiem o czym piszesz.

Mam ten układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)

Wiem, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ y=1}\). Będzie to jedyne rozwiązanie

Jakbyś mógł bardziej krok po kroku rozpisać jak do tego dojść byłbym niezmiernie wdzięczny. Ekstrema nie są w sobie trudne, jednak takie układy równań są dla mnie niestety dużym problemem :/

[a4karo]

O \(\displaystyle{ (0,0)}\) możesz zapomniec z powodó już wspomnianych:
Proste ćwiczenie z geometrii: jakie figury opisuja równania licznik=0 w oby równaniach?

[Teson]

Chodzi o okrąg jak rozumiem ?

[kerajs]

Odpisuję na Twój poprzedni post:

To dość powszechny problem. Studenci na tym etapie nauki bez problemu różniczkują , całkują ale układ równań z którym radzili sobie w liceum staje się sporym problemem. Jeśli na kolokwium/egzaminie staniesz w tym miejscu, to radzę napisać co robiłbyś gdybyś znalazł punkty bedące rozwiązaniem warumku koniecznego. Niektórzy sprawdzajacy mogą dać za to jakieś punkty.

Wracajac do meritum:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)
Punkt (0,0)nie należy do dziedziny. Pozbywam sie ułamków
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+x+y^{2}-3y =0\\\ -2x^{2}+3x-2y^{2}+y =0\end{cases}}\)
drugie równanie dzielę przez -2
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+x+y^{2}-3y =0\\\ x^{2}- \frac{3}{2} x+y^{2}- \frac{1}{2} y =0\end{cases}}\)
To są dwa okręgi. Pierwszy o środku w \(\displaystyle{ ( \frac{-1}{2}; \frac{3}{2} )}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{10} }{2}}\), drugi środku w \(\displaystyle{ ( \frac{3}{4}; \frac{1}{4} )}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{10} }{4}}\).
czyli szukasz punktów (o ile istnieją) w którym te okręgi się przecinają.

Już rozumiesz , czy mam tłumaczyć co robiłem dalej w moim poprzednim poscie?

[Teson]

Coś już mi świta.

Teraz tak, odejmę jedno równanie od drugiego, czyli wyjdzie mi \(\displaystyle{ 2,5x-2,5y=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2,5x=2,5y}\), czyli \(\displaystyle{ x=y.}\)
Podstawię to do 1. równania i mam \(\displaystyle{ y^{2}+y+y^{2}-3y=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2y^{2}-2y=0}\), czyli \(\displaystyle{ y^{2}-y=0,}\) czyli \(\displaystyle{ y(y-1)=0}\) i mam, że \(\displaystyle{ y=0}\) lub\(\displaystyle{ y =1.}\) Podstawiam to do drugiego i wychodzi mi, że dla \(\displaystyle{ y=0, x=0,}\) a dla \(\displaystyle{ y=1, x=1}\).

Tak to trzeba było zrobić ?

Kolejna kwestia, punkt 0,0 nie jest moją dziedziną i powtarza się to tutaj zawsze. Spowodowane jest to tym, że mam w przykładzie pierwiastek i od razu musi być założenie, że x i y muszą być różne od zera, kolejna kwestia jest tam \(\displaystyle{ 3arctg \frac{x}{y}}\), czyli tutaj 0 też odpada, bo nie ma dzielenia przez zero. Oraz najważniejsze w sumie, w 1. poście jak jest kreska ułamkowa mam pod nią \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2}}\), tam też nie może być 0. Czyli 3 rzeczy wykluczają ten punkt jak rozumiem.

[kerajs]

Tak to trzeba było zrobić ?

Tak to można było zrobić. To tylko jeden z kilku sposobów na rozwiazanie tego ukladu równań.

Spowodowane jest to tym, że mam w przykładzie pierwiastek i od razu musi być założenie, że x i y muszą być różne od zera tak ?

Teoretycznie dziedzinę funkcji/ równania/ nierowności/wyrażenia/całki/ rózniczki /itp zawsze powinieneś określać. W praktyce jest z tym różnie.
W Twojej funkcji punkt (0,0) nie należy do dziedziny nie ze wzgledu na pierwiastek (bo wyrażenie podpierwiastkowe w pierwiastku parzystego stopnia musi być nieujemne, a wiec może być zerem), a ze wzgledu na liczbę logarytmowana (która musi być dodatnia) .

[Teson]

Ale mój sposób rozumiem był jednym z szybkich i nie ma potrzeby zmieniania metody ?
Co do tych zer to masz zupełną rację, zupełnie się tym nie przejąłem na początku zadania dopiero tutaj jak ten problem został nagłośniony. Z mojej strony bardzo dziękuję za pomoc oraz cierpliwość