Układ równań.
-
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 1 lip 2014, o 04:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 18 razy
Układ równań.
Mam problem z układem równań poniżej.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)
Wpisałem go na WolframAlpha i powinno wyjść, że \(\displaystyle{ x=1 \ i \ y=1}\)
Intryguje mnie, że chciałem sobie ułatwić na początku liczenie i usunąłem w obu przypadkach to co jest pod kreską ułamkową tak, że miałem taki zapis:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x^{2}+3x-2y^{2}+y =0\\\ x^{2}+x+y^{2}-3y =0\end{cases}}\)
W tym przypadku WolframAlpha ukazuje 2 rozwiązania tj. \(\displaystyle{ x=0 \ i \ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=1 \ i \ y=1}\)
Teraz nie wiem, której wersji się trzymać. Wyliczenie punktów jest ważne z tego względu, że ten układ równań jest częścią zadania z ekstremum lokalnych, w których muszę znaleźć punkty stacjonarne.
Będę wdzięczny za pomoc.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)
Wpisałem go na WolframAlpha i powinno wyjść, że \(\displaystyle{ x=1 \ i \ y=1}\)
Intryguje mnie, że chciałem sobie ułatwić na początku liczenie i usunąłem w obu przypadkach to co jest pod kreską ułamkową tak, że miałem taki zapis:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x^{2}+3x-2y^{2}+y =0\\\ x^{2}+x+y^{2}-3y =0\end{cases}}\)
W tym przypadku WolframAlpha ukazuje 2 rozwiązania tj. \(\displaystyle{ x=0 \ i \ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=1 \ i \ y=1}\)
Teraz nie wiem, której wersji się trzymać. Wyliczenie punktów jest ważne z tego względu, że ten układ równań jest częścią zadania z ekstremum lokalnych, w których muszę znaleźć punkty stacjonarne.
Będę wdzięczny za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 1 lip 2014, o 04:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 18 razy
Układ równań.
Więc tak.
Pochodną pierwszego rzędu po x i y liczyłem z tej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y) = x-2y+ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}+3arctg \frac{y}{x}}\)
Pochodna po \(\displaystyle{ x}\) to: \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}}}\)
Pochodna po \(\displaystyle{ y}\) to: \(\displaystyle{ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}}\)
W pierwszym poście przez przypadek zmieniłem kolejność tego układu.
Jednak nadal nie potrafię zrobić dobrze oraz w miarę szybko takiego układu równań, a coś mi świta, że potrzebne tu będzie równanie koła, żeby ten punkt znaleźć.
Pochodną pierwszego rzędu po x i y liczyłem z tej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y) = x-2y+ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}+3arctg \frac{y}{x}}\)
Pochodna po \(\displaystyle{ x}\) to: \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}}}\)
Pochodna po \(\displaystyle{ y}\) to: \(\displaystyle{ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}}\)
W pierwszym poście przez przypadek zmieniłem kolejność tego układu.
Jednak nadal nie potrafię zrobić dobrze oraz w miarę szybko takiego układu równań, a coś mi świta, że potrzebne tu będzie równanie koła, żeby ten punkt znaleźć.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Układ równań.
Jest kilka sposobów jak znaleźć część wspólną dwóch okręgów. Najszybszym chyba jest odjęcie równań od siebie w układzie : \(\displaystyle{ x^2+x+y^2-3y=0 \wedge x^2- \frac{3}{2} x+y^2- \frac{1}{2} y=0}\) otrzymując układ z równaniem liniowym : \(\displaystyle{ x^2+x+y^2-3y=0 \wedge \frac{5}{2} x- \frac{5}{2} y=0}\) rozwiązywany przez podstawianie.
-
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 1 lip 2014, o 04:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 18 razy
Układ równań.
Przepraszam, wiem że wychodzę teraz na półgłówka, jednak nie wiem o czym piszesz.
Mam ten układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)
Wiem, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ y=1}\). Będzie to jedyne rozwiązanie
Jakbyś mógł bardziej krok po kroku rozpisać jak do tego dojść byłbym niezmiernie wdzięczny. Ekstrema nie są w sobie trudne, jednak takie układy równań są dla mnie niestety dużym problemem :/
Mam ten układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)
Wiem, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ y=1}\). Będzie to jedyne rozwiązanie
Jakbyś mógł bardziej krok po kroku rozpisać jak do tego dojść byłbym niezmiernie wdzięczny. Ekstrema nie są w sobie trudne, jednak takie układy równań są dla mnie niestety dużym problemem :/
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Układ równań.
O \(\displaystyle{ (0,0)}\) możesz zapomniec z powodó już wspomnianych:
Proste ćwiczenie z geometrii: jakie figury opisuja równania licznik=0 w oby równaniach?
Proste ćwiczenie z geometrii: jakie figury opisuja równania licznik=0 w oby równaniach?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Układ równań.
Odpisuję na Twój poprzedni post:
To dość powszechny problem. Studenci na tym etapie nauki bez problemu różniczkują , całkują ale układ równań z którym radzili sobie w liceum staje się sporym problemem. Jeśli na kolokwium/egzaminie staniesz w tym miejscu, to radzę napisać co robiłbyś gdybyś znalazł punkty bedące rozwiązaniem warumku koniecznego. Niektórzy sprawdzajacy mogą dać za to jakieś punkty.
Wracajac do meritum:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)
Punkt (0,0)nie należy do dziedziny. Pozbywam sie ułamków
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+x+y^{2}-3y =0\\\ -2x^{2}+3x-2y^{2}+y =0\end{cases}}\)
drugie równanie dzielę przez -2
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+x+y^{2}-3y =0\\\ x^{2}- \frac{3}{2} x+y^{2}- \frac{1}{2} y =0\end{cases}}\)
To są dwa okręgi. Pierwszy o środku w \(\displaystyle{ ( \frac{-1}{2}; \frac{3}{2} )}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{10} }{2}}\), drugi środku w \(\displaystyle{ ( \frac{3}{4}; \frac{1}{4} )}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{10} }{4}}\).
czyli szukasz punktów (o ile istnieją) w którym te okręgi się przecinają.
Już rozumiesz , czy mam tłumaczyć co robiłem dalej w moim poprzednim poscie?
To dość powszechny problem. Studenci na tym etapie nauki bez problemu różniczkują , całkują ale układ równań z którym radzili sobie w liceum staje się sporym problemem. Jeśli na kolokwium/egzaminie staniesz w tym miejscu, to radzę napisać co robiłbyś gdybyś znalazł punkty bedące rozwiązaniem warumku koniecznego. Niektórzy sprawdzajacy mogą dać za to jakieś punkty.
Wracajac do meritum:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^{2}+x+y^{2}-3y}{x^{2}+y^{2}} =0\\\ \frac{-2x^{2}+3x-2y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} =0\end{cases}}\)
Punkt (0,0)nie należy do dziedziny. Pozbywam sie ułamków
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+x+y^{2}-3y =0\\\ -2x^{2}+3x-2y^{2}+y =0\end{cases}}\)
drugie równanie dzielę przez -2
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+x+y^{2}-3y =0\\\ x^{2}- \frac{3}{2} x+y^{2}- \frac{1}{2} y =0\end{cases}}\)
To są dwa okręgi. Pierwszy o środku w \(\displaystyle{ ( \frac{-1}{2}; \frac{3}{2} )}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{10} }{2}}\), drugi środku w \(\displaystyle{ ( \frac{3}{4}; \frac{1}{4} )}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{10} }{4}}\).
czyli szukasz punktów (o ile istnieją) w którym te okręgi się przecinają.
Już rozumiesz , czy mam tłumaczyć co robiłem dalej w moim poprzednim poscie?
-
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 1 lip 2014, o 04:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 18 razy
Układ równań.
Coś już mi świta.
Teraz tak, odejmę jedno równanie od drugiego, czyli wyjdzie mi \(\displaystyle{ 2,5x-2,5y=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2,5x=2,5y}\), czyli \(\displaystyle{ x=y.}\)
Podstawię to do 1. równania i mam \(\displaystyle{ y^{2}+y+y^{2}-3y=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2y^{2}-2y=0}\), czyli \(\displaystyle{ y^{2}-y=0,}\) czyli \(\displaystyle{ y(y-1)=0}\) i mam, że \(\displaystyle{ y=0}\) lub\(\displaystyle{ y =1.}\) Podstawiam to do drugiego i wychodzi mi, że dla \(\displaystyle{ y=0, x=0,}\) a dla \(\displaystyle{ y=1, x=1}\).
Tak to trzeba było zrobić ?
Kolejna kwestia, punkt 0,0 nie jest moją dziedziną i powtarza się to tutaj zawsze. Spowodowane jest to tym, że mam w przykładzie pierwiastek i od razu musi być założenie, że x i y muszą być różne od zera, kolejna kwestia jest tam \(\displaystyle{ 3arctg \frac{x}{y}}\), czyli tutaj 0 też odpada, bo nie ma dzielenia przez zero. Oraz najważniejsze w sumie, w 1. poście jak jest kreska ułamkowa mam pod nią \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2}}\), tam też nie może być 0. Czyli 3 rzeczy wykluczają ten punkt jak rozumiem.
Teraz tak, odejmę jedno równanie od drugiego, czyli wyjdzie mi \(\displaystyle{ 2,5x-2,5y=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2,5x=2,5y}\), czyli \(\displaystyle{ x=y.}\)
Podstawię to do 1. równania i mam \(\displaystyle{ y^{2}+y+y^{2}-3y=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2y^{2}-2y=0}\), czyli \(\displaystyle{ y^{2}-y=0,}\) czyli \(\displaystyle{ y(y-1)=0}\) i mam, że \(\displaystyle{ y=0}\) lub\(\displaystyle{ y =1.}\) Podstawiam to do drugiego i wychodzi mi, że dla \(\displaystyle{ y=0, x=0,}\) a dla \(\displaystyle{ y=1, x=1}\).
Tak to trzeba było zrobić ?
Kolejna kwestia, punkt 0,0 nie jest moją dziedziną i powtarza się to tutaj zawsze. Spowodowane jest to tym, że mam w przykładzie pierwiastek i od razu musi być założenie, że x i y muszą być różne od zera, kolejna kwestia jest tam \(\displaystyle{ 3arctg \frac{x}{y}}\), czyli tutaj 0 też odpada, bo nie ma dzielenia przez zero. Oraz najważniejsze w sumie, w 1. poście jak jest kreska ułamkowa mam pod nią \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2}}\), tam też nie może być 0. Czyli 3 rzeczy wykluczają ten punkt jak rozumiem.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Układ równań.
Tak to można było zrobić. To tylko jeden z kilku sposobów na rozwiazanie tego ukladu równań.Teson pisze:Tak to trzeba było zrobić ?
Teoretycznie dziedzinę funkcji/ równania/ nierowności/wyrażenia/całki/ rózniczki /itp zawsze powinieneś określać. W praktyce jest z tym różnie.Teson pisze: Spowodowane jest to tym, że mam w przykładzie pierwiastek i od razu musi być założenie, że x i y muszą być różne od zera tak ?
W Twojej funkcji punkt (0,0) nie należy do dziedziny nie ze wzgledu na pierwiastek (bo wyrażenie podpierwiastkowe w pierwiastku parzystego stopnia musi być nieujemne, a wiec może być zerem), a ze wzgledu na liczbę logarytmowana (która musi być dodatnia) .
-
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 1 lip 2014, o 04:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 18 razy
Układ równań.
Ale mój sposób rozumiem był jednym z szybkich i nie ma potrzeby zmieniania metody ?
Co do tych zer to masz zupełną rację, zupełnie się tym nie przejąłem na początku zadania dopiero tutaj jak ten problem został nagłośniony. Z mojej strony bardzo dziękuję za pomoc oraz cierpliwość
Co do tych zer to masz zupełną rację, zupełnie się tym nie przejąłem na początku zadania dopiero tutaj jak ten problem został nagłośniony. Z mojej strony bardzo dziękuję za pomoc oraz cierpliwość