nieskończenie wiele rozwiązań układu równań

Eisenhower_ · Post autor: **Eisenhower_** » 12 wrz 2014, o 22:13

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań?

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha x - y + z = 1 \\ x - \alpha y + z = 1 \\ 3x - 3y + 2z = 2 \alpha \end{cases}}\)

Wtedy kiedy wyznacznik główny \(\displaystyle{ = 0}\)? Ale nie pasuje mi to, bo w wyznaczniku tym nie będzie wyrazów wolnych, a tam (w 3 równaniu) stoi parametr. Proszę o pomoc, z góry dziękuję

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 12 wrz 2014, o 23:55

na pewno dla 1.. ;p

kerajs · Post autor: **kerajs** » 13 wrz 2014, o 01:33

Eisenhower_ pisze:Wtedy kiedy wyznacznik główny \(\displaystyle{ = 0}\)?

Przy takim warunku wiadomo tylko że układ nie jest oznaczony (tzn. nie ma dokładnie jednego rozwiązania). Może być zarówno nieoznaczony jak i sprzeczny. Dlatego oprócz znalezienia spełniających go alf, powinnaś spawdzić który z przypadków dla danej alfy zachodzi.

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} \alpha &-1&1\\1&- \alpha &1\\3&-3&2\end{array}\right|= 0}\)

\(\displaystyle{ -2 \alpha ^{2}-3-3+3 \alpha +2+3\alpha =0}\)
\(\displaystyle{ -2 \alpha ^{2}+6 \alpha -4 =0}\)
\(\displaystyle{ \alpha=1 \vee \alpha=2}\)

Teraz powinnaś sprawdzić (lub rozwiązać układ) czy dla konkretnego alfa układ jest nieoznaczony czy sprzeczny.

Odp:
Dla \(\displaystyle{ \alpha=1}\) układ jest sprzeczny (nie ma rozwiazania)
Dla \(\displaystyle{ \alpha=2}\) układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań)

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 13 wrz 2014, o 10:24

chyba na odwrót -- 13 września 2014, 09:26 --no chyba, że \(\displaystyle{ x=y=c}\) oraz \(\displaystyle{ z=1}\) nie jest dla Ciebie rozwiazaniem przy \(\displaystyle{ \alpha = 1}\)

kerajs · Post autor: **kerajs** » 13 wrz 2014, o 20:01

Masz rację. O takiej porze powinienem raczej liczyć na kartce. Dla obu alf układ jest nieoznaczony. Rzędy macierzy głównej i rozszerzonej w obu przypadkach wynoszą 2. (Dla alfa równego 1 pierwsze i drugie równanie są takie same; dla alfy równej 2 trzecie równanie to suma dwóch pierwszych równań). Sorry.

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 13 wrz 2014, o 21:38

Dla \(\displaystyle{ \alpha=2}\) po zsumowaniu dwóch pierwszych równań lewa strona jest równa lewej stronie trzeciego równania, ale prawe strony są różne.. w trzecim równaniu jest 4. więc układ jest sprzeczny

Eisenhower_ · Post autor: **Eisenhower_** » 14 wrz 2014, o 12:28

czyli jaka jest ostateczna odpowiedź?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 wrz 2014, o 12:52

Eisenhower_, policz sam odpowiedni wyznacznik i wtedy będziemy działać

Eisenhower_ · Post autor: **Eisenhower_** » 14 wrz 2014, o 14:46

Wyszło mi tak samo (alfa =2 lub =1)
potem po postawieniu tych wyników dla 1 układ jest nieoznaczony, a dla 2 sprzeczny?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 wrz 2014, o 15:11

Odpowiedzi przecież masz w tym temacie, [przeczytaj wszystkie wypowiedzi jeszcze raz