Wektory bazy standardowej przestrzeni R^3.

[aksamitny]

Niech \(\displaystyle{ e _{1}, e _{2}, e _{3}}\), będą wektorami bazy standardowej przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) i niech:

\(\displaystyle{ b _{1} = [1, 0, 0, 1], b _{2} = [-2, 0, 0, 2], b _{3} = [3, -1, -1, -1], b _{4} = [5, -3, 3, -4]}\).

a) Wykazać, że istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: R ^{4} \rightarrow R ^{3}}\), takie że\(\displaystyle{ f(b _{i})=e _{i}}\) dla \(\displaystyle{ i= 1, 2, 3}\) oraz \(\displaystyle{ f(b _{4})=0}\).
Wyznaczyć jego macierz względem baz standardowych w \(\displaystyle{ R^{4} i R ^{3}}\) , podać jego jądro i obraz.

b) Podać takie odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ g | R ^{3} \rightarrow R ^{4}}\) , że \(\displaystyle{ f \cdot g=id}\) , gdzie \(\displaystyle{ id}\) oznacza odwzorowanie identycznościowe.

c) Wyznaczyć macierz\(\displaystyle{ B \in M _{2x4}(R)}\) odwzorowania \(\displaystyle{ g}\) względem baz standardowych w \(\displaystyle{ R ^{4}}\), \(\displaystyle{ R ^{3}}\) .-- 14 wrz 2014, o 12:31 --Jakieś pomysły na to zadanie?

[Paulina-Anna]

Jeśli chodzi o punkt a), to najlepiej będzie stworzyć macierz \(\displaystyle{ 3 \times 4}\) o wyrazach, powiedzmy, \(\displaystyle{ a_11, a_12, a_13, ..., a_33}\), wymnożyć tą macierz i wektory \(\displaystyle{ b_1, ..., b_4}\), przyrównać wyniki do wektorów bazowych \(\displaystyle{ [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]}\) a ostatni do \(\displaystyle{ [0,0,0]}\).

Dostajemy wtedy układ 12 równań, ale bardzo prosty - dużo rzeczy sumuje się to do zera.

W ten sposób jednoznacznie dostajemy współczynniki tej macierzy.

Najważniejsza rzecz - wektory \(\displaystyle{ b_1, ..., b_4}\) są liniowo niezależne, więc tworzą bazę w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

Jeśli masz macierz, masz i wzór odwzorowania.