Współczynnik pierwszej formy kwadratowej

[mjp]

Witam, mam takie zadanie do zrobienia:

Wyznaczyć współczynnik pierwszej formy kwadratowej powierzchni:
\(\displaystyle{ \vec{r}= \vec{r} \left( u,v \right) = \left[ a \arctan v \cos u, a \arctan v \sin u, b \ln v \right]}\)
\(\displaystyle{ a>0, b>0, v>0, u \in \left\langle 0,2\pi \right\rangle}\)

Mam wzory:
\(\displaystyle{ E=\vec{r} _{u} \cdot \vec{r} _{u}}\)
\(\displaystyle{ F=\vec{r} _{u} \cdot \vec{r} _{v}}\)
\(\displaystyle{ G=\vec{r} _{v} \cdot \vec{r} _{v}}\)

tylko nie mam pojęcia co z nimi zrobić.
Mógłby ktoś pomóc?

[dr Wieslaw Zajiczek]

Witam, mam takie zadanie do zrobienia:

Wyznaczyć współczynnik pierwszej formy kwadratowej powierzchni:
\(\displaystyle{ \vec{r}= \vec{r}(u,v)=[a arctgv cosu, a arctgv sinu, b lnv]}\)
\(\displaystyle{ a>0, b>0, v>0, u \in <0,2pi>}\)

Mam wzory:
\(\displaystyle{ E=\vec{r} _{u} \cdot \vec{r} _{u}}\)
\(\displaystyle{ F=\vec{r} _{u} \cdot \vec{r} _{v}}\)
\(\displaystyle{ G=\vec{r} _{v} \cdot \vec{r} _{v}}\)

tylko nie mam pojęcia co z nimi zrobić.
Mógłby ktoś pomóc?

Witam, najpierw obliczasz pochodne cząstkowe wektora \(\displaystyle{ \vec{r}}\) po zmiennej u i po zmiennej v. To są właśnie te \(\displaystyle{ \vec{r} _{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{r} _{v}}\). Obliczając pochodną cząstkową z funkcji wektorowej, na każdej współrzędnej liczysz osobno pochodną po danej zmiennej. Powstaną 2 wektory \(\displaystyle{ \vec{r} _{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{r} _{v}}\). Teraz pozostaje Ci obliczyć ich iloczyny skalarne. Iloczyn skalarny dwóch wektorów liczysz tak, że mnożysz kolejne współrzędne i dodajesz do siebie, czyli \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}\)
Pozdrawiam