Macierze i ich charakterystyki liczbowe.

[mateusz123456]

Ponieważ to mój pierwszy post na forum, chciałbym się serdecznie przywitać ze wszystkim forumowiczami. Myślę, że będę tutaj zaglądał dosyć często, ponieważ mam kilka pytań odnośnie pewnych zagadnień.
Niestety, mam problem z jednym zadaniem, w którym mam podane macierze i korzystając z charakterystyk liczbowych macierzy mam obliczyć pewne działania.

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} -1&7&-1\\0&5&2\\0&0&-2\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ B = 3A^{T}}\)

a) \(\displaystyle{ tr(3I + 2B^{T}}\)
b) \(\displaystyle{ det (2(B^{T} A))}\)
c) \(\displaystyle{ rz (4BA^{-1} A)}\)
d) \(\displaystyle{ rz (B +A^{T})}\)

Bardzo bym prosił o pomoc z tym zagadnieniem, ponieważ myślę już dłuższy czas, a niestety nie wiem nawet, jaka jest poprawna odpowiedź, na chociażby jeden podpunkt.

P.S zacząłem liczyć ppkt a) i wyszło mi \(\displaystyle{ 33}\), tylko, że zacząłem liczyć to na piechotę, bez korzystania z charakterystyk. A przecież nie o to w tym chodzi


Pozdrawiam i proszę Was o jakąkolwiek pomoc,

Mateusz.

[yorgin]

a) Skorzystaj z tego, że ślad jest liniowy:

\(\displaystyle{ \textrm{tr}(3I+2B^T)=3\textrm{tr}I+2\textrm{tr}3(A^T)^T=3\textrm{tr}I+6\textrm{tr}A}\).

b) Tutaj należy korzystać z tego, że:

\(\displaystyle{ \det XY=\det X\cdot \det Y}\)

oraz jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest macierzą wymiaru \(\displaystyle{ n\times n}\), to

\(\displaystyle{ \det kX=k^n\det X}\).

c) Skoro \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\), to \(\displaystyle{ A^{-1}A=I}\), więc masz do wyznaczenia rząd macierzy \(\displaystyle{ 4B=12A^T}\). Teraz, transponowanie oraz mnożenie macierzy przez skalar nie zmieniają jej rzędu.

d) Zauważ, że \(\displaystyle{ A^T+B}\) jest macierzą dolnotrójkątną, więc wystarczy sprawdzić, ile jest niezerowych wyrazów na przekątnej (dlaczego?).

[mateusz123456]

W p.pkt a) wyszło mi 33, nawet po uproszczeniu, czyli dobrze.
W p.pkt b) mam \(\displaystyle{ det (2(B^{T} A)) = (2(3A^{T})^{T} \cdot det A= 6^{3} det A \cdot det A}\) ?? Tutaj nie jestem pewien, czy dobrze rozumiem.

W p.pkt c) rozumiem, że rząd wynosi 3 z tych twierdzeń, które mi podałeś
W p.pkt d) napisałeś \(\displaystyle{ A^{T} + B}\), czyli \(\displaystyle{ A^{T} + B= A^{T} + 3A^{T}=4 A^{T}}\) więc po przetransponowaniu mamy 3 wyrazy na głównej przekątnej, więc \(\displaystyle{ rz=3}\). Jeżeli dobrze rozumiem, to we wcześniejszym przykładzie napisałeś, że mnożenie przez skalar oraz transponowanie nie zmienia rzędu więc odpowiedź brzmi 3?

Pozdrawiam,

Mateusz

[yorgin]

W p.pkt b) mam \(\displaystyle{ det (2(B^{T} A)) = (2(3A^{T})^{T} \cdot det A= 6^{3} det A \cdot det A}\) ?? Tutaj nie jestem pewien, czy dobrze rozumiem.

Zapisane nie jest to do końca poprawnie, ale prawidłowy jest wniosek, tj wynik \(\displaystyle{ 216 (\det A)^2}\).

W p.pkt c) rozumiem, że rząd wynosi 3 z tych twierdzeń, które mi podałeś

Dobrze rozumiesz. Warto pamiętać, jakie operacje można wykonywać na macierzy tak, by nie zmienił się ich rząd.

W p.pkt d) napisałeś \(\displaystyle{ A^{T} + B}\), czyli \(\displaystyle{ A^{T} + B= A^{T} + 3A^{T}=4 A^{T}}\) więc po przetransponowaniu mamy 3 wyrazy na głównej przekątnej, więc \(\displaystyle{ rz=3}\).

Uwaga ode mnie: skoro wszystkie wyrazy na przekątnej są niezerowe, to wyznacznik jest niezerowy (bo wyznacznik macierzy górno lub dolnotrójkatnej to iloczyn wyrazów na przekątnej), a tym samym rząd jest maksymalny.

Jeżeli dobrze rozumiem, to we wcześniejszym przykładzie napisałeś, że mnożenie przez skalar oraz transponowanie nie zmienia rzędu więc odpowiedź brzmi 3?

Tak.

[mateusz123456]

Bardzo dziękuje Ci za pomoc. W sumie to problem leży w tym, że na ćwiczeniach słabo zostały wyjaśnione te właściwości działań. Znalazłem stronę: ... cierzy.pdf , na której jest kilka wzoró, ale wydaję mi się, że nie ma tam wszystkiego

[yorgin]

Cóż, nie wszystkie zależności istotnie się pojawiają. Warto więc zajrzeć do wykładów, książek, zapytać google/wikipedię czy też pytanie na forum. Zapewne to ostatnie wybrałeś, więc nadrabiając zaległości:

chciałbym się serdecznie przywitać ze wszystkim forumowiczami.

Witamy

[mateusz123456]

A mam jeszcze jedno pytanie:

Jak uprościć takie wyrażenie?

\(\displaystyle{ X=(2AA^{-1}B)^{T} - (A^{T}B)^{T}}\)

Na pewno w przypadku tego drugiego nawiasu będzie \(\displaystyle{ B^{T}A}\)
Co z pierwszym?

[yorgin]

\(\displaystyle{ AA^{-1}=I}\)

\(\displaystyle{ 2IB=2B}\)

Nie da się tego zredukować do jednego składnika, ale na końcu można wyłączyć \(\displaystyle{ B^T}\) za nawias.