Cztery niewiadome, trzy równania

[BlackBomb]

Mam pytanie jak rozwiązać taki układ:
\(\displaystyle{ x-2y+z+t=1 \\
x-2y+z-t=-1 \\
x-2y+z+5t=5}\)

Mam przyjąć np \(\displaystyle{ t= \alpha}\) i tak podstawiać? Czy może w macierz to dać? Próbowałem parę razy podstawiać, dodawać, odejmować, ale nic ciekawego nie wychodzi.

[cosinus90]

Tutaj gołym okiem widać, że to równanie będzie miało rozwiązanie, ale wykorzystaj twierdzenie Kroneckera-Capellego. Czyli tworzysz macierz i starasz się ją sprowadzić do postaci jednostkowej.

[yorgin]

Jak oznaczymy \(\displaystyle{ s=x-2y+z}\), to dostajemy trójkę równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} s+t=1 \\ s-t=-1 \\ s+5t=5 \end{cases}}\)

Powyższy układ opisuje trzy proste, parami nierównoległe. W szczególności wszystkie trzy (nie mają wspólnego punktu, zatem układ jest sprzeczny) przecinają się dokładnie w jednym punkcie.

Edit: Poprawa po uwadze, jaką zaserwował cosinus90. Na czerwono stara, błędna wersja.

[cosinus90]

yorgin, a punkt \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) ?

[yorgin]

Aaa źle narysowałem i źle przerachowałem

Istotnie \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest jedynym rozwiązaniem. Daje to po powrocie do pierwotnych oznaczeń \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\) oraz \(\displaystyle{ t=1}\). Pozostaje tylko rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\) by zakończyć cierpienia z tym zadaniem.

Zgodzi się to z wnioskami o rzędzie macierzy jakoby rozwiązanie istniało oraz było zależne od dwóch parametrów.

Najtrudniejsze w matematyce są proste rachunki

[BlackBomb]

Dziękuję bardzo. Czyli odpowiedź brzmi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=0 \\ t=1 \end{cases}}\)

[cosinus90]

No nie do końca, bo jest nieskończenie wiele trójek liczb \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) które w wyrażeniu \(\displaystyle{ x-2y+z}\) dadzą wartość \(\displaystyle{ 0}\). Musisz oznaczyć dwie z tych trzech zmiennych jakimiś parametrami i wyznaczyć rozwiązanie w zależności od tych parametrów właśnie.

[BlackBomb]

No tak faktycznie. Czyli jak oznaczę sobie \(\displaystyle{ y= \alpha ; z= \beta}\) to odpowiedź brzmi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \alpha - \beta \\ y= \alpha \\ z= \beta \\ t=1 \end{cases}}\)

Czy teraz jest dobrze zrobione w zapisie?

[miodzio1988]

Wstaw to do poczatkowego ukladu i zobacz czy wychodzą równości

[BlackBomb]

Według mnie tak.

[cosinus90]

Jest poprawnie.