Cztery niewiadome, trzy równania
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Cztery niewiadome, trzy równania
Mam pytanie jak rozwiązać taki układ:
\(\displaystyle{ x-2y+z+t=1 \\
x-2y+z-t=-1 \\
x-2y+z+5t=5}\)
Mam przyjąć np \(\displaystyle{ t= \alpha}\) i tak podstawiać? Czy może w macierz to dać? Próbowałem parę razy podstawiać, dodawać, odejmować, ale nic ciekawego nie wychodzi.
\(\displaystyle{ x-2y+z+t=1 \\
x-2y+z-t=-1 \\
x-2y+z+5t=5}\)
Mam przyjąć np \(\displaystyle{ t= \alpha}\) i tak podstawiać? Czy może w macierz to dać? Próbowałem parę razy podstawiać, dodawać, odejmować, ale nic ciekawego nie wychodzi.
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Cztery niewiadome, trzy równania
Tutaj gołym okiem widać, że to równanie będzie miało rozwiązanie, ale wykorzystaj twierdzenie Kroneckera-Capellego. Czyli tworzysz macierz i starasz się ją sprowadzić do postaci jednostkowej.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Cztery niewiadome, trzy równania
Jak oznaczymy \(\displaystyle{ s=x-2y+z}\), to dostajemy trójkę równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} s+t=1 \\ s-t=-1 \\ s+5t=5 \end{cases}}\)
Powyższy układ opisuje trzy proste, parami nierównoległe. W szczególności wszystkie trzy (nie mają wspólnego punktu, zatem układ jest sprzeczny) przecinają się dokładnie w jednym punkcie.
Edit: Poprawa po uwadze, jaką zaserwował cosinus90. Na czerwono stara, błędna wersja.
\(\displaystyle{ \begin{cases} s+t=1 \\ s-t=-1 \\ s+5t=5 \end{cases}}\)
Powyższy układ opisuje trzy proste, parami nierównoległe. W szczególności wszystkie trzy (nie mają wspólnego punktu, zatem układ jest sprzeczny) przecinają się dokładnie w jednym punkcie.
Edit: Poprawa po uwadze, jaką zaserwował cosinus90. Na czerwono stara, błędna wersja.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Cztery niewiadome, trzy równania
Aaa źle narysowałem i źle przerachowałem
Istotnie \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest jedynym rozwiązaniem. Daje to po powrocie do pierwotnych oznaczeń \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\) oraz \(\displaystyle{ t=1}\). Pozostaje tylko rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\) by zakończyć cierpienia z tym zadaniem.
Zgodzi się to z wnioskami o rzędzie macierzy jakoby rozwiązanie istniało oraz było zależne od dwóch parametrów.
Najtrudniejsze w matematyce są proste rachunki
Istotnie \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest jedynym rozwiązaniem. Daje to po powrocie do pierwotnych oznaczeń \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\) oraz \(\displaystyle{ t=1}\). Pozostaje tylko rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\) by zakończyć cierpienia z tym zadaniem.
Zgodzi się to z wnioskami o rzędzie macierzy jakoby rozwiązanie istniało oraz było zależne od dwóch parametrów.
Najtrudniejsze w matematyce są proste rachunki
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Cztery niewiadome, trzy równania
Dziękuję bardzo. Czyli odpowiedź brzmi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=0 \\ t=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=0 \\ t=1 \end{cases}}\)
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Cztery niewiadome, trzy równania
No nie do końca, bo jest nieskończenie wiele trójek liczb \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) które w wyrażeniu \(\displaystyle{ x-2y+z}\) dadzą wartość \(\displaystyle{ 0}\). Musisz oznaczyć dwie z tych trzech zmiennych jakimiś parametrami i wyznaczyć rozwiązanie w zależności od tych parametrów właśnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 22 razy
Cztery niewiadome, trzy równania
No tak faktycznie. Czyli jak oznaczę sobie \(\displaystyle{ y= \alpha ; z= \beta}\) to odpowiedź brzmi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \alpha - \beta \\ y= \alpha \\ z= \beta \\ t=1 \end{cases}}\)
Czy teraz jest dobrze zrobione w zapisie?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \alpha - \beta \\ y= \alpha \\ z= \beta \\ t=1 \end{cases}}\)
Czy teraz jest dobrze zrobione w zapisie?