Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
PAK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 11 cze 2014, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Środkowa Polska
Podziękował: 118 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: PAK »

Witam ,na początek wzorując się na linku :


,chciałbym zrozumieć czym jest przestrzeń wektorowa i jej aksjomaty.

Weźmy np:


Zadanie 1
W zasadzie umiem i rozumiem sprawdzić warunek V1) ,ze względu na działanie (nie wiem jak się w latex robi takie znaczki) ,pomimo że jest napisane że mamy grupę przemienną z tym działaniem (co wynika z innego zadania).Jednak w aksjomatach mamy napisane :
Zbiór V z dodawaniem jest grupą przemienną
A to działanie chyba nie jest dodawaniem.

A w przypadku pozostałych aksjomatów to mam podobnie problem w odniesieniu do definicji.Nieraz są pozmieniane ,w miejscu dodawania (definicja) ,mam inne działanie itp.
Mógłby ktoś obrazowo wytłumaczyć o co w tym chodzi ?
mariakow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 22 sie 2014, o 17:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wro
Pomógł: 9 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: mariakow »

To działanie nazywane jest dodawaniem, choć wcale nie musi być zwykłym dodawaniem.
Ważne jest aby spełniało podane warunki na grupę.
PAK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 11 cze 2014, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Środkowa Polska
Podziękował: 118 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: PAK »

Ok ,więc sprawa V1) załatwiona.No weźmy teraz V2).Wg definicji :
\(\displaystyle{ \lambda(\mu v)=(\lambda\mu)v}\)

Więc zgodnie z nią myślałem że powinno być (przy przyjętych oznaczeniach) :
\(\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha \beta) v}\)

Zamiast tych symboli niech będzie :
\(\displaystyle{ d_1}\)-działanie kratka
\(\displaystyle{ d_2}\)-działanie kółko z kropką

I mamy w rozwiązaniu :
\(\displaystyle{ \alpha d_2(\beta d_2 v)=(\alpha d_2 \beta)d_2 v}\)

Więc jak jest ?
mariakow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 22 sie 2014, o 17:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wro
Pomógł: 9 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: mariakow »

Ale w którym miejscu jest problem? Bierzesz dwa elementy z \(\displaystyle{ \mathbb R}\) powiedzmy \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) i element \(\displaystyle{ v\in V}\). Sprawdzasz czy zachodzi równość \(\displaystyle{ \alpha\odot(\beta\odot v)=(\alpha\beta)\odot v}\). Lewa strona to: \(\displaystyle{ \alpha\odot(\beta\odot v)=\alpha\odot(v^{\beta})=(v^{\beta})^{\alpha}}\). A prawa \(\displaystyle{ (\alpha\beta)\odot v=v^{\alpha\beta}}\). I lewa=prawa. A może chodzi Ci o brak \(\displaystyle{ \odot}\) między \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)?
PAK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 11 cze 2014, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Środkowa Polska
Podziękował: 118 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: PAK »

Tak ,chodzi mi o symbole.Dlaczego nie zapisujemy że :
\(\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha \beta) v}\) ,tylko \(\displaystyle{ \alpha\odot(\beta\odot v)=(\alpha\beta)\odot v}\) ?
Mam rozumieć że mnożenie odpowiada tutaj działaniu \(\displaystyle{ \odot}\) ? I tak ,dlaczego tam brakuje na końcu \(\displaystyle{ \odot}\) między \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).Bo nie wiem czy dobrze zauważyłem ,ale jeśli mamy dodawanie ,mnożenie tylko między elementami \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in \mathbb R}\) ,to stosujemy dodawanie ,mnożenie z tego ciała (czyli w tym przypadku "normalne" bo mamy \(\displaystyle{ \mathbb R}\)).Gdy mamy działania tylko dla \(\displaystyle{ u,v\in V}\) ,to stosujemy tylko działanie określone w tym zbiorze (czyli tę kratkę).Natomiast ,gdy mam element z ciała \(\displaystyle{ \mathbb R}\) i element ze zbioru \(\displaystyle{ V}\) to stosuję działanie \(\displaystyle{ \odot}\).Nie wiem czy jest taka zależność.A nawet jakby była to wydaje mi się że już w V3) i V4) trochę się sypie.
mariakow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 22 sie 2014, o 17:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wro
Pomógł: 9 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: mariakow »

PAK pisze: Mam rozumieć że mnożenie odpowiada tutaj działaniu \(\displaystyle{ \odot}\) ?
Tak.

Pokazujesz, że \(\displaystyle{ (V,\mathbb R, \boxplus,\odot)}\) jest przestrzenią, czyli działaniami są \(\displaystyle{ \boxplus}\) i \(\displaystyle{ \odot}\). A one są zdefiniowane przez znane działania (jak już przechodzisz na nie to tam obowiązują ich prawa dodawania i mnożenia). \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) są z \(\displaystyle{ \mathbb R}\) i tam się 'normalnie' na nich działa. popatrz na czym (na jakich zbiorach) działa kropka i kwadracik - to jest tak jak piszesz o ciele itd. Ale dlaczego pada Ci V3) czy V4)?
PAK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 11 cze 2014, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Środkowa Polska
Podziękował: 118 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: PAK »

Weźmy może najpierw V3) (chociaż w V2) też jest coś podobnego).Mamy np: \(\displaystyle{ V\ni v ^{\alpha+\beta}=v ^{\alpha}v ^{\beta}\in V}\)

W zbiorze \(\displaystyle{ V}\) ,mamy określone tylko działanie ("dodawanie") :

\(\displaystyle{ \boxplus: V \times V\ni (a,b)\to a \boxplus b:= ab\in V}\)

Skąd ta własność działań na potęgach w tym zbiorze.Jej przecież nie definiowaliśmy.

Potem z kolei mamy :\(\displaystyle{ v^{\alpha } \boxplus v^ {\beta }\ = \alpha \odot v \boxplus \beta\odot v}\)
I teraz :
a)skąd wiadomo o kolejności wykonywania działań ,czyli np: dlaczego działanie \(\displaystyle{ \boxplus}\) nie jest np: pierwsze.

b)skoro jesteśmy w \(\displaystyle{ V}\) ,to dlaczego nagle możemy zastosować działanie \(\displaystyle{ \odot}\) ?
mariakow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 22 sie 2014, o 17:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wro
Pomógł: 9 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: mariakow »

Popatrz skąd (jakie zbiory) są \(\displaystyle{ v, \alpha, \beta}\)

a) jak chciałbyś wykonać działanie \(\displaystyle{ v\boxplus\beta}\)?

b) wynik \(\displaystyle{ \odot}\) jest w \(\displaystyle{ V}\).
PAK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 11 cze 2014, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Środkowa Polska
Podziękował: 118 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: PAK »

No zostało to już określone :\(\displaystyle{ ,\alpha.\beta \in \mathbb R}\) , \(\displaystyle{ v\in V}\).
Rozumiałbym ,gdyby \(\displaystyle{ v ^{\alpha+\beta}\in \mathbb R}\) , ale przecież \(\displaystyle{ v ^{\alpha+\beta}\in V}\)

a)no w sumie nie wiem ,ale też nie wiemy jakie jest pierwszeństwo działań
b)ok
mariakow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 22 sie 2014, o 17:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wro
Pomógł: 9 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: mariakow »

Tu ma znaczenie jaki jest zbiór \(\displaystyle{ V}\) - tam masz już określone działania ('naturalne').

a) Inaczej nie możesz wykonać tej operacji, masz określone działanie na \(\displaystyle{ \mathbb R\times V}\),
PAK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 185
Rejestracja: 11 cze 2014, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Środkowa Polska
Podziękował: 118 razy

Przestrzeń wektorowa ,podprzestrzeń.

Post autor: PAK »

W jakim sensie ? Chodzi o zbiór \(\displaystyle{ V=(0,\infty)}\) ? Bo jeśli tak to chyba tam jest określone tylko działanie \(\displaystyle{ \boxplus}\)

a)No mam określone działanie \(\displaystyle{ \odot}\).Jednak jest chyba coś na rzeczy bo w ostatniej linijce V3) brak nawiasów a w ostatnie V4) już są.


Ostatnio przesunięty w górę 18 wrz 2014, o 19:16 przez: PAK.
ODPOWIEDZ