norma, wykazać nierówność

[matematix]

Przez normę \(\displaystyle{ \left| \left| a \right| \right|}\) elementu \(\displaystyle{ a \in R ^{n}}\) rozumiemy liczbę \(\displaystyle{ \left| \left| a \right| \right| = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}a _{i} ^{2}}}\).
Wykazać, że dla dowolnych dwóch elementów \(\displaystyle{ a, b \in R ^{n}}\) mamy: \(\displaystyle{ \left| \left| a+b \right| \right| \le \left| \left| a \right| \right| + \left| \left| b \right| \right|}\).

[a4karo]

Podnieś do kwadratu i skorzystaj z nierówności Cauchy'ego-Schwarza

[matematix]

Dla \(\displaystyle{ a=[a _{1},...,a _{n}]}\), \(\displaystyle{ b=[b _{1},...,b _{n}]}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \left| \left| a+b \right| \right| \le \left| \left| a \right| \right| + \left| \left| b \right| \right| \Leftrightarrow \left| \left| [a _{1}+b _{1},...,a _{n}+b _{n}] \right| \right| \le \left| \left| [a _{1},...,a _{n}] \right| \right| + \left| \left| [b _{1},...,b _{n}] \right| \right| \Leftrightarrow \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(a _{i}+b _{i}) ^{2}} \le \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}a _{i} ^{2} } + \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} b _{i} ^{2} } \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}(a _{i}+b _{i}) ^{2} \le \sum_{i=1}^{n}a _{i} ^{2} + \sum_{i=1}^{n}b _{i} ^{2} +2 \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}a _{i} ^{2} } \cdot \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}b _{i} ^{2} }}\)

Jak teraz skorzystać z nierówności Cauchy'ego-Schwarza?

[a4karo]

Rozwin jeszcze lewą stronę ostatniej nieróności i uprośc wyrażenia

[matematix]

A no już mam, dzięki