Mam problem z 3 zadaniami są one trudne nie ma co ukryć więc zwracam się o pomoc do was...
zad1
Wyznacz macierz X spełniającą równanie \(\displaystyle{ 3C + (AX)^{T}B^{-1}=2C}\) , gdzie dane są macierze nie osobliwe stopnia 3. Oblicz wyznacznik macierzy X wiedząc że det A=2, det B=3, det C=4
zad2
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy B= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}b&0&0\\0&1&1\\-1&0&-1\end{array}\right]}\) przy tych wartościach parametru \(\displaystyle{ b_{1}}\) dla których \(\displaystyle{ B^{-1}}\) istnieje
zad3
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań (przy pomocy macierzy)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x_{1}+4x_{2}-2x_{3}=24\\x_{1}+x_{2}-x_{3}=4\end{array}}\)
Jest ktoś w stanie to zrobić ?!?!?
Wyznacz macierz X
-
Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
Wyznacz macierz X
Zadanie pierwsze teraz, reszta po zajęciach .
Przekształćmy wpierw równanie.
Najpierw obustronnie odejmujemy macierz 3C:
\(\displaystyle{ (A\cdot X)^T=2C-3C=-C}\)
Teraz mnożymy obie strony z prawej przez macierz B, aby pozbyć się jej odwrotności:
\(\displaystyle{ (A\cdot X)^T B^{-1} B = -C B \\ (A X)^T = -C B}\)
Ubustronnie transponujemy - jak wiadomo podwójna transpozycja przywraca macierz nietransponowaną:
\(\displaystyle{ ((A\cdot X)^T )^T = (-C B)^T \\ A\cdot X = (-C B)^T}\)
Teraz mnożymy obustronnie z lewej przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\):
\(\displaystyle{ A^{-1} A X = A^{-1} (-C B)^T \\ X = A^{-1} (-C B)^{T}}\)
Wyznacznik obliczymy, wiedząc, że \(\displaystyle{ det(kA)=k^n detA}\), \(\displaystyle{ det(AB)=detA detB}\), \(\displaystyle{ detA^{-1}=\frac{1}{detA}}\) i \(\displaystyle{ detA^{T}=detA}\). W naszym przypadku mamy:
\(\displaystyle{ detX=det(A^{-1} (-C B)^{T})=detA^{-1} det(-C B)^{T}=\frac{1}{detA} det(-C) detB = \frac{1}{detA}\cdot (-1)^3 detC detB = -\frac{detC detB}{detA}}\)
Przekształćmy wpierw równanie.
Najpierw obustronnie odejmujemy macierz 3C:
\(\displaystyle{ (A\cdot X)^T=2C-3C=-C}\)
Teraz mnożymy obie strony z prawej przez macierz B, aby pozbyć się jej odwrotności:
\(\displaystyle{ (A\cdot X)^T B^{-1} B = -C B \\ (A X)^T = -C B}\)
Ubustronnie transponujemy - jak wiadomo podwójna transpozycja przywraca macierz nietransponowaną:
\(\displaystyle{ ((A\cdot X)^T )^T = (-C B)^T \\ A\cdot X = (-C B)^T}\)
Teraz mnożymy obustronnie z lewej przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\):
\(\displaystyle{ A^{-1} A X = A^{-1} (-C B)^T \\ X = A^{-1} (-C B)^{T}}\)
Wyznacznik obliczymy, wiedząc, że \(\displaystyle{ det(kA)=k^n detA}\), \(\displaystyle{ det(AB)=detA detB}\), \(\displaystyle{ detA^{-1}=\frac{1}{detA}}\) i \(\displaystyle{ detA^{T}=detA}\). W naszym przypadku mamy:
\(\displaystyle{ detX=det(A^{-1} (-C B)^{T})=detA^{-1} det(-C B)^{T}=\frac{1}{detA} det(-C) detB = \frac{1}{detA}\cdot (-1)^3 detC detB = -\frac{detC detB}{detA}}\)