Wyznaczanie kolumny macierzy

[Hici]

Niech A ∈ \(\displaystyle{ M_{4x4}\left( R\right)}\) będzie macierzą o kolumnach \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}\). Załóżmy, ze wierszowo
zredukowana macierz wierszowo równoważna z A ma postać

\(\displaystyle{ \left| 1 0 2 1 \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| 0 1 1 4\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| 0 0 0 0 \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| 0 0 0 0\right|}\)

Wiedz¡c, że \(\displaystyle{ a_{1}}\) = (−3, 5, 2, 1) i \(\displaystyle{ a_{2}}\) = (4, −3, 7, −1) , wyznaczyć \(\displaystyle{ a_{3}, a _{4}}\)

Nie mam pomysłu jak zacząć to zadanie, szukałem czegoś w internecie, ale nawet nie wiem co tutaj zastosować. Próbowałem jakoś łopatologicznie, ale nic z tego nie wyszło.

[kerajs]

Ja bym próbował tak

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}-3&4&A&E\\5&-3&B&F\\2&7&C&G \\1&-1&D&H\end{array}\right|}\)

i teraz wykonywał przekształcenia elementarne wyłącznie na wierszach aby otrzymać macierz z tresci zadania.

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}-3&4&A&E\\5&-3&B&F\\2&7&C&G \\1&-1&D&H\end{array}\right|=}\) \(\displaystyle{ (w1+4w4)=\left|\begin{array}{cccc}1&0&A+4D&E+4H\\5&-3&B&F\\2&7&C&G \\1&-1&D&H\end{array}\right|=(w2-5w1,w3-2w1,w4-w1)=}\)

\(\displaystyle{ =\left|\begin{array}{cccc}1&0&A+4D&E+4H\\0&-3&B-5A-20D&F-5E-20H\\0&7&C-2A-8D&G-2E-8H \\0&-1&-A-3D&-E-3H\end{array}\right|=....}\)

[Hici]

Właśnie tak próbowałem robić i coś mi nie wyszło, ale to przez mój pośpiech. Sposób bardzo prosty, zrobiłem jak napisałeś wyszło mi:

A = -2
B = 7
C = 11
D = 1
E = 13
F = -7
G = 30
H = -3

Sprawdziłem i wszystko się zgodziło, więc świetnie. Zastanawiam się tylko czy nie ma jakiegoś sposobu bez wykonywania tak dużej ilości obliczeń?

[kerajs]

Zadanie jest tak nietypowe że nic zupełnie innego nie przychodzi mi na myśl.

Z podobnych sposobów to pewnie można próbować działać odwrotnie. Daną macierz o dwóch zerowych wiersza za pomocą przekształceń na wierszach doprowadzić do sytuacji gdy dwie pierwsze kolumny będą równe a1 i a2.
Wydaje się to być łatwiejsze, bo działasz tylko na liczbach, nie jest tak łatwo o pomyłkę i wyznacznik nie ,,puchnie' w szerz. Nie próbowałem, ale wydaje mi się że to łatwość pozorna. Ustalenie wartości jednego elementu w wierszu będzie zmieniało w tym wierszu drugi element.

Jak coś w najbliższym czasie wpadnie mi do głowy , to sie odezwę.

[mariakow]

Z jednej strony mamy macierz \(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{cccc}1&0&2&1\\0&1&1&4\\0&0&0&0 \\0&0&0&0\end{array}\right]}\) i równoważną wierszowo macierz (jak pisze kerajs), \(\displaystyle{ N=\left[\begin{array}{cccc}-3&4&A&E\\5&-3&B&F\\2&7&C&G \\1&-1&D&H\end{array}\right]}\)
Skoro można z macierzy \(\displaystyle{ N}\) przejść do macierzy \(\displaystyle{ M}\) to można z \(\displaystyle{ M}\) do \(\displaystyle{ N}\) też.
To weźmy pierwszy wiersz macierzy \(\displaystyle{ M}\) pomnóżmy przez \(\displaystyle{ -3}\) i dodajmy drugi pomnożony przez \(\displaystyle{ 4}\). Następnie porównajmy z pierwszym wierszem macierzy \(\displaystyle{ N}\).
Mamy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ E}\). Pozostałe niewiadome w podobny sposób.

Inny argument? Wiersze macierzy \(\displaystyle{ M}\) rozpinają podprzestrzeń dwuwymiarową i tą samą podprzestrzeń otrzymujemy z macierzy \(\displaystyle{ N}\). Teraz pracujemy na bazie (z pierwszej macierzy) i tworzymy wiersze macierzy drugiej.

Uwaga. Mówimy o macierzach a nie wyznacznikach, więc nawiasy powinne być inne.
Zwykle dużymi literami oznacza się macierze, więc ładniej wyglądałoby oznaczenie elementów macierzy małymi literami.