Metoda przekształceń ortogonalnych i baza ortonormalna

[Poszukujaca]

Mam formę kwadratową:

\(\displaystyle{ g(x)=2x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}}\)

Mam sprowadzić tę formę do postaci kanonicznej metodą przekształceń ortogonalnych oraz podać ortonormalną bazę \(\displaystyle{ B_{0}}\), w której forma kwadratowa ma postać kanoniczną.

Policzyłam wartości własne macierzy tej formy kwadratowej. Wyszło mi: \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\) - jedna wartość własna o krotności trzy. Teraz nie wiem, jak zapisać postać kanoniczną. Czy może być tak?
\(\displaystyle{ 2(x')^{2}+2(y')^{2}+2(z')^{2}=0}\) - suma kolejnych iloczynów nowych zmiennych poniesionych do kwadratu i wartości własnych?

Z wyznaczeniem bazy ortonormalnej pojawia się problem, przy liczeniu wektorów własnych. Powinny wyjść trzy, a wychodzi jeden..
Co robię źle?

[a4karo]

Może to Ci pomożę: \(\displaystyle{ g(x)=2(x_1+x_2)^2+2(x_1+x_3)^2-2x_1^2}\)

[Poszukujaca]

To postać kanoniczna z metody. Lagrange'a. Wczesńiej użyłam tez tej metody, ale wyszło mi trochę inaczej. Mogło tak być, bo wydaje mi się, że postać z tej metody nie jest jednoznaczna.

Ale co ma postać kanoniczna z metody Lagrange'a do postaci kanonicznej z metody przekształceń ortogonalnych? Nie rozumiem.

-- 31 sie 2014, o 22:49 --

Według tej strony
moja postać kanoniczna jest chyba w porządku.

[a4karo]

Obie nie mogą byc poprawne (tw. Sylvestera o bezwładności form kwadratowych)

[yorgin]

Poszukujaca, sygnatura formy kwadratowej jest niezmiennikiem tejże formy, a więc powinna wyjść \(\displaystyle{ (2,-1)}\) niezależnie od tego, w jakiej bazie ta forma jest określona.

Twoje rachunki muszą być więc błędne i tak w istocie jest - \(\displaystyle{ 2}\) jest co prawda wartością własną, ale pojedynczą.

[Poszukujaca]

Przeaanalizowałam twierdzenie Sylwestera i już rozumiem w czym rzecz. Znalzłam błąd w moich obliczeniach, przy sprowadzaniu formy do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a.
Znalazłam też błąd przy liczeniu wyznacznika, ale niestety nadal nie wychodzi mi poprawnie..

\(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{ccc} 2-\lambda&2&2 \\ 2&2-\lambda&0 \\ 2&0&2-\lambda \end{array}\right] =}\)
\(\displaystyle{ (2-\lambda)^{3}-4(2-\lambda)-4(2-\lambda)=(2-\lambda)((2-\lambda)^{2}-8)=(2-\lambda)(\lambda^{2}-4\lambda-4)}\)

Teraz wychodzą dwie pozostałe wartości własne - niewymierne..

[a4karo]

To wylicz te pierwiastki i znajdź wektory własne

[Poszukujaca]

Czy wartości własne movą być inne od współczynników wyznaczonych z metody Lagrange'a ?

\(\displaystyle{ \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=2(1-\sqrt{2}), \lambda_{3}=2(1+\sqrt{2})}\)

[Lider_M]

W tym wypadku przekształcenie z m. Lagrange'a nie jest przekształceniem ortogonalnym dlatego nie przekształcimy do postaci z wartościami własnymi.

[a4karo]

Nie, wartość własna, to wartość własna. Zależy tylko od operatora

[Poszukujaca]

W takim razie jak teraz mając wyliczone waryości własne, zapisać wzór kanonicznej postaci tej formy kwadratowej?

[a4karo]

Wyznacz wektory własne i zobacz jak ta forma wygląda w bazie złożonej z nich.

[Lider_M]

A nawet wersory własne, bo poszukujemy ortonormalnej bazy.

[Poszukujaca]

Mam zapisać macierz tej formy w bazie złożonej z wektorów własnych? Potraktować ją jako endomorfizm?

[a4karo]

Tak, a następnie znależć macierz ortogonalną przekształcającą starą bazę w nową