Endomorfizm i bazy

[Poszukujaca]

Proszę o pomoc w wyjaśnieniu pewnej kwestii dotyczącej endomorfizmów i ich macierzy.

Czy macierz endomorfizmu ustalona jest zawsze w dwóch bazach, które muszą być takie same? Czy mogą być one różne, a posiadać tylko ten sam wymiar?
Endomorfizm to odwzorowanie systemu algebraicznegi w siebie, więc raczej skłaniam sie ku zdaniu, że jeśli mamy macierz endomorfizmu, to ustalona jest ona w dwóch TAKICH SAMYCH bazach.

Jak jest naorawdę?

[chris_f]

Niekoniecznie. Ta sama przestrzeń może mieć różne bazy. Zresztą istnieje coś takiego jak macierz przejścia od jednej bazy do drugiej (w tej samej przestrzeni oczywiście).

[Poszukujaca]

Czyli nie jest konieczne, by endomorfizm określony był w dwóch takich samych bazach, ale konieczne jest by bazy te były bazami tej samej przestrzeni liniowej - miały taki sam wymiar?

To ciekawe.. Zastanawia mnie, dlaczego we wszystkich przykładach zadań, pisząc macierz endomorfizmu, wykorzystuje się zawsze dwie takie same bazy.

Może po prostu tak się przyjmuje dla wygody?

[chris_f]

Tak, to jest tylko dla wygody i dlatego, ze to jest mało istotne. Po prostu z jednej bazy można przejść do drugiej, inaczej mówiąc mając jakiś wektor w jednej bazie, można błyskawicznie zapisać go we współrzędnych w drugiej.
Wtedy gdy mamy jakiś wektor zapisany w jednej bazie i chcemy znaleźć jego obraz przez endomorfizm w innej bazie, to wystarczy po prostu najpierw wektor zapisać w tej drugiej bazie (pomnożyć przez macierz przejścia) i potem zrobić endomorfizm już w tej samej bazie.
Sprowadza się to do przemnożenia macierzy endomorfizmu przez macierz przejścia.
Nic to nie zmienia, a jedynie utrudnia zapis.

[Poszukujaca]

Jak znaleźć obraz endomorfizmu \(\displaystyle{ Im f}\) mając daną tylko jego macierz?

[chris_f]

Rozumiem, że masz endomorfizm \(\displaystyle{ f:U\to U}\) i chodzi o obraz całej przestrzeni?
Wtedy bierzesz bazę (jakąkolwiek) \(\displaystyle{ U}\), znajdujesz obraz każdego wektora z bazy i tak otrzymany zbiór generuje (rozpina) obraz (może to być jakaś podprzestrzeń \(\displaystyle{ U}\), albo cała przestrzeń - gdy endomorfizm jest izomorfizmem).

[Poszukujaca]

Czy mogą to być kolejne wektory jako kolumny macierzy endomorfizmu?

[chris_f]

Wektory bazy możesz mnożyć pojedynczo przez macierz endomorfizmu.
Jeżeli przestrzeń jest \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowa, to wektor jest macierzą o wymiarze \(\displaystyle{ 1\times n}\).
Macierz endomorfizmu musi być macierzą o wymiarze \(\displaystyle{ n\times m}\). Po wymnożeniu dostaniesz macierz o wymiarze \(\displaystyle{ 1\times m}\), czyli wektor bazowy obrazu.
Oczywiście dla wygody mnoży się od razu całą macierz bazową przez macierz endomorfizmu.
Z tego wychodzi (tak mi się przynajmniej wydaje), że to, czy wektory bazowe zapisujesz jako kolumny, czy jako wiersz, to zależy z której strony mnożysz wektor i macierz.
Jeżeli używasz zapisu
\(\displaystyle{ Ax}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) to macierz, a \(\displaystyle{ x}\) to wektor, to rzeczywiście wektory bazowe zapisujesz w kolumnach.
Wtedy mój wcześniejszy zapis należy zmienić:
macierz endomorfizmu ma mieć wymiar \(\displaystyle{ m\times n}\), a wektor bazowy \(\displaystyle{ n\times1}\).