Własność macierzy, której trzecia potega zeruje się

[inzynierka_94]

Witam wszystkich serdecznie

Szukałam podobnego zadania, ale nic mi się nie udało znaleźć.
Czy mogłabym poprosić o wskazówkę jak zabrać się za zadanie tego typu:
Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A^{3} = 0 \Rightarrow \left(1- A\right)^{-1} = 1 + A + A^{2}}\)

Oczywiście A to jakaś macierz... Jedyne co mi przychodzi do głowy to macierz zerowa czyli
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}\)
lub jeszcze macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}}\)
podniesiona do potęgi 3 daje zero. Jest to zadanie z egzaminu teoretycznego więc powinno być podparte jakimś twierdzeniem.

Z góry dziękuje za pomoc

[Pijarek]

Może tak:
\(\displaystyle{ \left(1- A\right)^{-1}=1 + A + A^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(1- A\right)^{-1}(1-A)=(1 + A + A^{2})(1-A)}\)
\(\displaystyle{ 1=1+A+A^2-A-A^2-A^3}\)
\(\displaystyle{ 1=1-A^3}\)
\(\displaystyle{ A^3=0}\)

Zamiast 1 można pisać I lub E

[Majeskas]

To, co zostało wyżej dowiedzione, to twierdzenie odwrotne.

[yorgin]

Jest to zadanie z egzaminu teoretycznego więc powinno być podparte jakimś twierdzeniem.

Zapewne chodzi o twierdzenie mówiące o tym, że jeżeli istnieje macierz odwrotna, to jest jedyna.

Wykaż więc, że \(\displaystyle{ 1+A+A^2}\) jest macierzą odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ 1-A}\).

[Pijarek]

To, co zostało wyżej dowiedzione, to twierdzenie odwrotne.

i należy teraz napisać wszystkie przekształcenia od ostatniego do pierwszego.

[mariakow]

Popieram, to co yorgin napisał. Najprostsze rozwiązanie (\(\displaystyle{ AA^{-1}=I=A^{-1}A}\)).

[Jan Kraszewski]

To, co zostało wyżej dowiedzione, to twierdzenie odwrotne.

i należy teraz napisać wszystkie przekształcenia od ostatniego do pierwszego.

I właśnie dlatego rozwiązanie bez komentarza to nie jest dobre rozwiązanie.

JK