Witam wszystkich serdecznie
Szukałam podobnego zadania, ale nic mi się nie udało znaleźć.
Czy mogłabym poprosić o wskazówkę jak zabrać się za zadanie tego typu:
Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A^{3} = 0 \Rightarrow \left(1- A\right)^{-1} = 1 + A + A^{2}}\)
Oczywiście A to jakaś macierz... Jedyne co mi przychodzi do głowy to macierz zerowa czyli
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}\)
lub jeszcze macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}}\)
podniesiona do potęgi 3 daje zero. Jest to zadanie z egzaminu teoretycznego więc powinno być podparte jakimś twierdzeniem.
Z góry dziękuje za pomoc
Własność macierzy, której trzecia potega zeruje się
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 30 sie 2014, o 13:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
Własność macierzy, której trzecia potega zeruje się
Ostatnio zmieniony 30 sie 2014, o 15:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 14 sie 2014, o 10:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: GLŁ
- Pomógł: 17 razy
Własność macierzy, której trzecia potega zeruje się
Może tak:
\(\displaystyle{ \left(1- A\right)^{-1}=1 + A + A^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(1- A\right)^{-1}(1-A)=(1 + A + A^{2})(1-A)}\)
\(\displaystyle{ 1=1+A+A^2-A-A^2-A^3}\)
\(\displaystyle{ 1=1-A^3}\)
\(\displaystyle{ A^3=0}\)
Zamiast 1 można pisać I lub E
\(\displaystyle{ \left(1- A\right)^{-1}=1 + A + A^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(1- A\right)^{-1}(1-A)=(1 + A + A^{2})(1-A)}\)
\(\displaystyle{ 1=1+A+A^2-A-A^2-A^3}\)
\(\displaystyle{ 1=1-A^3}\)
\(\displaystyle{ A^3=0}\)
Zamiast 1 można pisać I lub E
Ostatnio zmieniony 30 sie 2014, o 13:59 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Własność macierzy, której trzecia potega zeruje się
Zapewne chodzi o twierdzenie mówiące o tym, że jeżeli istnieje macierz odwrotna, to jest jedyna.inzynierka_94 pisze:Jest to zadanie z egzaminu teoretycznego więc powinno być podparte jakimś twierdzeniem.
Wykaż więc, że \(\displaystyle{ 1+A+A^2}\) jest macierzą odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ 1-A}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 14 sie 2014, o 10:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: GLŁ
- Pomógł: 17 razy
Własność macierzy, której trzecia potega zeruje się
i należy teraz napisać wszystkie przekształcenia od ostatniego do pierwszego.Majeskas pisze:To, co zostało wyżej dowiedzione, to twierdzenie odwrotne.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 22 sie 2014, o 17:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: wro
- Pomógł: 9 razy
Własność macierzy, której trzecia potega zeruje się
Popieram, to co yorgin napisał. Najprostsze rozwiązanie (\(\displaystyle{ AA^{-1}=I=A^{-1}A}\)).
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Własność macierzy, której trzecia potega zeruje się
I właśnie dlatego rozwiązanie bez komentarza to nie jest dobre rozwiązanie.Pijarek pisze:i należy teraz napisać wszystkie przekształcenia od ostatniego do pierwszego.Majeskas pisze:To, co zostało wyżej dowiedzione, to twierdzenie odwrotne.
JK