Macierz odwzorowania w rożnych bazach

[Poszukujaca]

Niech \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc} -1&0&-2 \\ 2&1&-3 \\ 3&2&1 \end{array}\right]}\) będzie macierzą odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f:R_{2}[x] \rightarrow R_{2}[x]}\) w bazach \(\displaystyle{ B_{1}=(x^{2}+1,x+3,-x^{2}-x+1), B_{2}=(1,x,x^{2})}\). Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazach: \(\displaystyle{ B_{1}'={-x^{2}-1,2x+1,-5x^{2}), B_{2}'=(x-1,x^{2}+2x-3,x^{2}-2)}\).

Jak zabrać się za coś takiego?

[a4karo]

Wyraź elementy \(\displaystyle{ B_1'}\) przez elementy \(\displaystyle{ B}\)

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ M_[f}(B_{1}^{'},B_{2}^{'})=P_{B_{2}
ightarrow B_{2}^{'}}^{-1} cdot A cdot P_{B_{1}
ightarrow B_{1}^{'}}}\)

Czy ten wzór jest prawdziwy? Czy wystarczy jak znajdę macierze przejścia?

[a4karo]

Pamiętaj, że \(\displaystyle{ A=f(B_1,B_2)}\) wiec musisz robić przejscie \(\displaystyle{ B_1'\toB_1\to A\to B_2\to B_2'}\)

[Poszukujaca]

Dlaczego tak?

Czy wzór, który napisałam - macierz odwzorowania przy zmianie baz - jest prawdziwy?

[a4karo]

Bo masz napisac wzor na to odwzorowanie w bazach \(\displaystyle{ B1'}\) i \(\displaystyle{ B_2'}\), więc musisz zaczynac od takiej bazy (sorki, we wzorku powyżej cos mi zjadło: powinno być tak: \(\displaystyle{ B_1'\to B_1\to A\to B_2\to B_2'}\) )

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ M_{f}(B_{1}^{'},B_{2}^{'})=P_{B_{1} \rightarrow B_{1}^{'}}^{-1} \cdot A \cdot P_{B_{2} \rightarrow B_{2}^{'}}}\)

teraz dobrze?

[a4karo]

\(\displaystyle{ P_{B_2\to B_2'}AP_{B_1'\to B_1}=P_{B_2'\to B_2}^{-1}AP_{B_1'\to B_1}}\)

Jak składamy \(\displaystyle{ f}\) a potem \(\displaystyle{ g}\), to to odpowiada macierzy \(\displaystyle{ GF}\)

[Poszukujaca]

Ale szukam macierzy tego samego odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f}\), tylko w innych bazach.

Ten wzór: \(\displaystyle{ M_{f}(B^{'},C^{'})=P_{C \rightarrow C^{'}}^{-1} \cdot M_{f}(BC) \cdot P_{B \rightarrow B^{'}}}\) mówiący o zmianie baz odwzorowania liniowego, mam z książki Rutkowskiego ,,Algebra liniowa w zadaniach".
Nie rozumiem, dlaczego jest niepoprawny w przypadku tego zadania..

[a4karo]

A cóz to jet \(\displaystyle{ P_{B\to B'}}\) ?

[Poszukujaca]

Macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ B^{'}}\).

[a4karo]

Zatem niech \(\displaystyle{ e_1',e_2',e_3'}\) będą wektorami bazy \(\displaystyle{ B_1'}\), a \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3}\) będą wektorami bazy \(\displaystyle{ B_1}\).
Podobnie niech \(\displaystyle{ f_1',f_2',f_3'}\) będą wektorami bazy \(\displaystyle{ B_2'}\), a \(\displaystyle{ f_1,f_2,ef3}\) będą wektorami bazy \(\displaystyle{ B_2}\).
Mamy znależć, jak wyglądaja obrazy wektorów \(\displaystyle{ e_i'}\) w języku \(\displaystyle{ f_i'}\).
Niech \(\displaystyle{ C}\) będzie macierzą przejścia z \(\displaystyle{ B_1'}\) do \(\displaystyle{ B_1}\), czyli \(\displaystyle{ Ce_i'=e_i}\),
a \(\displaystyle{ D}\) macierzą przejścia z \(\displaystyle{ B_2'}\) do \(\displaystyle{ B_2}\), czyli \(\displaystyle{ Df_i'=f_i}\).

Popatrzmy jak zachowuje sie wektor \(\displaystyle{ e_i'}\)
\(\displaystyle{ e_i'\ \substack {C\\ \rightarrow }\ e_i\ \substack {A\\ \rightarrow }\ A(e_i)=\sum a_{ij}f_j \ \substack {D^{-1}\\ \rightarrow} \ \sum a_{ij}f_j'}\)
więc robisz przekształcenie \(\displaystyle{ D^{-1}AC}\).

Ale może ja żle interpretuję macierz przejscia.

[pwrobel]

Poszukująca, Twój wzór jest dobry