Warunek na izomorfizm grup

[Poszukujaca]

Jaki warunek oprócz tego na homomorfizm muszą spełniać dwie grupy, aby były izomorfizmem?

Izomorfizm to bijekcja, więc pewnie musi istnieć odwzorowanie odwrotne, które też jest homomorfizmem. Czy dobrze myślę?

[szw1710]

Tak, ale to myślenie nieco topologiczne, albowiem nie zawsze odwzorowanie odwrotne do odwzorowania ciągłego jest ciągłe. Wystarczy tylko, aby homomorfizm był bijekcją. Odwzorowanie odwrotne do bijektywnego homomorfizmu automatycznie jest homomorfizmem.

[Poszukujaca]

Dobrze rozumiem. Jak zatem sformułować warunek na bijektywność homomorfizmu?

Załóżmy, że mamy dwie grupy: \(\displaystyle{ (A,\ast), (B,\circ)}\). I homomorfizm między nimi: \(\displaystyle{ f:A \rightarrow B}\).
Z definicji homomorfizmu spełniony jest warunek: \(\displaystyle{ \forall_{x,y \in A} f(x \ast y)=f(x) \circ f(y)}\).

Jak mogę zapisać warunek na izomorfizm dla tych dwóch grup?

[szw1710]

Zwyczajnie: monomorfizm, czyli różnowartościowość i epimorfizm, czyli odwzorowanie "na". Przy czym warunek różnowartościowości w przypadku homomorfizmów redukuje się równoważnie do \(\displaystyle{ \text{ker}\,f=\{e\}}\), gdzie \(\displaystyle{ e}\) jest elementem neutralnym w grupie \(\displaystyle{ A}\).

[Poszukujaca]

Dlaczego warunek na monomorfizm w ten sposób się redukuje?

Jeśli chodzi o odwzorowanie liniowe i iniektywność to według tego, co się uczyłam wystarczy, gdy bedą spełnione warunki dla odwzorowania: \(\displaystyle{ f: R^{n} \rightarrow R^{m}}\)
\(\displaystyle{ r(f)=n \wedge Ker f = {0}}\)

Natomiast surjektywność odwzorowania: \(\displaystyle{ r(f)=m}\)

Czy tutaj też można posłużyć się tymi warunkami?