Epimorfizm, Monomorfizm

[kryg196]

Hej, mam taki przykład: \(\displaystyle{ f: (x,y,z)\longrightarrow(x+y,2x,z-x)}\)

\(\displaystyle{ dimf=dimImf+dimKerf}\)
Monomorfizm gdy \(\displaystyle{ Kerf=\lbrace0\rbrace}\)
Epimorfizm gdy \(\displaystyle{ dimf=dimImf}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y=0 \Rightarrow y=-x \Rightarrow y=0\\2x=0 \Rightarrow x=0\\z-x=0\Rightarrow z=x \Rightarrow z=0\end{array}}\)

\(\displaystyle{ Kerf=lin\lbrace(0,0,0)\rbrace}\) więc \(\displaystyle{ dimKerf=0}\)

\(\displaystyle{ Imf=\lbrace(x+y,2x,z-x)\rbrace = \lbrace x(1,2,-1) + y(1,0,0) + z(0,0,1)\rbrace = lin \lbrace (1,2,-1),(1,0,0),(0,0,1)\rbrace}\) więc \(\displaystyle{ dimImf=3}\)

Więc jest to monomorfizm bo \(\displaystyle{ Kerf=\lbrace0\rbrace}\), jest epimorfizmem bo \(\displaystyle{ dimf=0+3=3=dimImf}\) oraz \(\displaystyle{ rankf=3}\). Czy to jest ok?

[yorgin]

Wygląda dobrze. Jak rozumiem możesz korzystać wyłącznie z definicji?

Całe zadanie można bardzo ładnie zrobić na macierzach, w przysłowiowej jednej linijce plus znajomość prostego twierdzenia.

Intryguje mnie jedno, czym jest dla Ciebie \(\displaystyle{ \dim f}\)? Domyslam się, że może chodzić o wymiar dziedziny \(\displaystyle{ f}\)? Chodzi mi o twierdzenie 4.1 z

[kryg196]

Tak, chodziło mi o wymiar dziedziny, ale może rzeczywiście źle to oznaczam, na przyszłość zmienię swój zapis

A co do rozwiązania za pomocą macierzy:

\(\displaystyle{ f:V \ni \mathbb{R}^{3}\longrightarrow W\in \mathbb{R}^{3}}\)
\(\displaystyle{ f: (x,y,z)\longrightarrow(x+y,2x,z-x)}\)

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\2&0&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ detA=-2 \not\equiv 0 \Rightarrow rzA=3}\)
\(\displaystyle{ rzA=rankf=dimImf=3}\)
\(\displaystyle{ dimV=3=dimImf \Rightarrow f}\) epimorfizm
\(\displaystyle{ dimV=dimImf+dimKerf \Rightarrow dimKerf=3-3=0 \Rightarrow f}\) monomorfizm

O taki sposób chodzi? Czy coś robię źle?

[yorgin]

Wszystko dobrze robisz, ale można to skwitować tym, że skoro \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\), to \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą izomorfizmu. Koniec zadania.

Dlaczego?

Jest to wniosek z prostego twierdzenia. W przestrzeniach skończenie wymiarowych \(\displaystyle{ X}\) jeżeli \(\displaystyle{ f:X\to X}\), to izomorfizm, monomorfizm oraz epimorfizm są pojęciami równoważnymi. Zauważ, że wynika to z korzystanego przez Ciebie powyżej twierdzenia o wymiarach.

[kryg196]

dzięki wielkie za pomoc