odwzorowanie liniowe

[kuba150694]

Mamy odwzorowanie \(\displaystyle{ F:R_{2}[x] \rightarrow\ R_{2}[x]}\)
takie że \(\displaystyle{ F(w(x))=w(x)-x*w'(x)}\)

Mam sprawdzić czy jest odwracalne.

oczywiście baza standardowa \(\displaystyle{ B={1,x,x^2 }}\)

wychodzi mi niestety macierz o wyznaczniku 0 a z tego co wiem istnieje odwzorowanie odwrotne do F

\(\displaystyle{ M = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)

gdzie jest błąd?

[szw1710]

Nie liczyłem. Ale pomysł jest dobry. Zapisz \(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c}\) i skojarz wielomian z wektorem \(\displaystyle{ (a,b,c)\in\RR^3}\). Znajdź macierz i policz wyznacznik. Oczywiście \(\displaystyle{ F(w)}\) też wyraź współczynnikami. Może coś źle z tą macierzą, o której mówisz.

[pyzol]

Funkcje typu \(\displaystyle{ ax}\) wpadają w \(\displaystyle{ 0}\).

[a4karo]

Sprawdź \(\displaystyle{ F(w)}\) dla \(\displaystyle{ w(x)=x}\)

[kuba150694]

ja to widzę tak
\(\displaystyle{ F(1) = 1-0*x=1}\)
\(\displaystyle{ F(x) = x-1*x=0}\)
\(\displaystyle{ F(x^2) = x^2-2x^2=-x^2}\)

wtedy wstawiam te wyniki odpowiednio w macierz i wychodzi macierz M (ta co jest na górze)

[szw1710]

A ja tak: jeśli \(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c=(a,b,c)}\), to \(\displaystyle{ F(w)=w(x)-xw'(x)=ax^2+bx+c-x(2ax+b)=(-a,0,c)}\). Macierzą jest więc

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}}\)

więc rzeczywiście odwzorowanie nie jest odwracalne. Ty też dobrze rozumujesz, tylko współrzędne bierzesz od wyrazu wolnego, a ja od kwadratu. Dlatego nasze macierze różnią się.

[kuba150694]

dziękuję wszystkim.