Macierz Jordana i wysoka potęga

[kryg196]

Mam macierz \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} -1&1&-1\\1&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}}\). Mam znaleźć postać Jordana i obliczyć \(\displaystyle{ A^{2014}}\). Postać Jordana mi wyszła \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\) ale podnieść do potęgi 2014? Pewnie jest jakieś twierdzenie ale nie mogę nic znaleźć, bardzo proszę o pomoc.

[a4karo]

Pomnóż ją przez siebie raz, może dwa. Byc może coś zauważysz

[kryg196]

\(\displaystyle{ A^{2} = \begin{bmatrix} 2&0&2\\-1&0&-1\\-1&0&-1\end{bmatrix}}\) , \(\displaystyle{ A^{3} = \begin{bmatrix} -2&0&-2\\1&0&1\\1&0&1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ A^{4} = \begin{bmatrix} 2&0&2\\-1&0&-1\\-1&0&-1\end{bmatrix}}\) ...... \(\displaystyle{ A^{2014} = \begin{bmatrix} 2&0&2\\-1&0&-1\\-1&0&-1\end{bmatrix}}\). Wystarczy tak to pokazać? Coś mi się kojarzy, że do obliczania macierzy do wysokiej potęgi korzystało się z wyliczonej postaci Jordana...dostane przykład w którym będę mnożył 10 razy i nic mi sie nie powtórzy i co wtedy zrobię ?

[a4karo]

To idę o zakład, że nikt Ci takiego zadania nie da. Zadania nie są po to, żeby zamęczyć gościa, tylko po to, żeby coś zauważyć i czegoś sie nauczyć

[kryg196]

Ok, w takim razie dziękuję za pomoc

[a4karo]

Jasne, że z postaci Jordana też wyjdzie. Sprawdż jak się zachowują klatki przy potęgowaniu. Potem wystarczy pomnożyc z obu stron przez macierz przejscie i jej odwrotnośc i już

[kryg196]

czyli skorzystam z \(\displaystyle{ A^{n}=PJ^{n}P^{-1}}\) ? Macierz Jordana też muszę podnosić do wysokiej potęgi, to rzeczywiście muszę coś zauważyć, że się powtarza A tą macierz \(\displaystyle{ P}\) tworzę z wektorów własnych odpowiadających danym wartościom własnym?

[a4karo]

\(\displaystyle{ P}\) to macierz którą otrzymujesz przechodząc do postaci Jordana: \(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\).

A tak z ciekawości: policz parę potęg macierzy Jordana w tym zadaniu (Szczerze mówiąc, ja dawałem Ci t e wskazówkę, to myslałem że będziesz Jordana potęgował, a nie oryginał )

[kryg196]

\(\displaystyle{ J = \begin{bmatrix} -1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ J^{2} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ J^{3} = \begin{bmatrix} -1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ J^{2n} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ J^{2n+1} = \begin{bmatrix} -1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)
To jak będzie wyglądała ta moja macierz \(\displaystyle{ P}\) ? Jedna wartość własna to -1 i wektor własny mi wyszedł (-2,1,1), druga wartość własna wyszła 0 i wektor własny (-1,0,1) ale jak drugi znaleźć, to jest dwukrotny pierwiastek, zgłupiałem i miałbym \(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} -2&-1&?\\1&0&?\\1&1&?\end{bmatrix}}\)

[Matylda42]

Czy ten kolejny wektor własny może być dowolnym wektorem, który spełnia te same zależności co wektor (-1,0,1)? Czyli np. (-2,0,2)?

[mariakow]

Macierz \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą nieosobliwą. Zatem Twój wektor tj. \(\displaystyle{ (-2,0,2)}\) nie może być razem z \(\displaystyle{ (-1,0,1)}\). W tle jest zawsze jakaś baza. Trzeba znaleźć wektor dołączony (do \(\displaystyle{ (-1,0,1)}\)).

[kryg196]

jak go znaleźć??

[mariakow]

W tym przypadku potrzebujesz wektora dołączonego pierwszego rzędu.
Szukasz pewnej podprzestrzeni (niezmienniczej). Składa się ona z wektorów własnych i wektorów
dołączonych (pierwszego rzędu).
To jądro \(\displaystyle{ (A-\lambda I)^2}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) to wartość własna, w tym przypadku \(\displaystyle{ 0}\). \(\displaystyle{ I}\) - macierz jednostkowa. Zatem rozwiązujesz układ równań (jednorodnych). Przez pomyłkę już wcześniej masz policzone \(\displaystyle{ A^2}\). Stąd rozwiązaniem układu \(\displaystyle{ (A-\lambda I)^2v=0}\) jest \(\displaystyle{ v=(x,y,-x)}\). Wektor \(\displaystyle{ v}\) możesz zapisać jako \(\displaystyle{ x(1,0,-1)+y(0,1,0)}\). Zatem twoja podprzestrzeń rozpięta jest na wektorach \(\displaystyle{ (1,0,-1), (0,1,0)}\). Bierzesz dowolny wektor z tej przestrzeni byle nie wektor własny. Najlepiej \(\displaystyle{ u=(0,1,0)}\). W końcu \(\displaystyle{ w=(A-\lambda I)u}\) jest wektorem własnym do którego dołączony jest \(\displaystyle{ u}\). Ostatecznie wpisujesz je do macierzy \(\displaystyle{ P}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&1&0\\1&0&1\\1&-1&0\end{bmatrix}.}\)

[kryg196]

Bardzo Ci dziękuję