Suma prosta i algebraiczna

[Poszukujaca]

Jak zabrać się za takie zadanie?

Niech \(\displaystyle{ V=\left\{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in R^{4}: 2x_{1}-2x_{3}-4x_{4}=0, x_{1}+x_{2}-2x_{3}-3x_{4}=0 \right\}}\)

\(\displaystyle{ W=lin\left\{ (1,0, \beta ,1),(4, \alpha + \beta , \beta -2 \alpha +1,2),(3, \alpha ,1,1)\right\}}\)
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ V+W=V \oplus W}\)?

[M Ciesielski]

Kiedy \(\displaystyle{ V \cap W = \{0\}}\).

[Poszukujaca]

Jeśli \(\displaystyle{ V \cap W = {0}}\) to \(\displaystyle{ dim(V+W)=dim V + dim W}\)

A definicja sumy prostej mówi o tym, że \(\displaystyle{ dim (V \oplus W) = dim V + dim W}\).

Czyli wniosek z tego taki, że aby równość zachodziło część wspólna podprzestrzeni V i W musi być zbiorem pustym.

Kiedy cześć wspólna dwóch przestrzeni jest zbiorem pustym?

[a4karo]

odp: nigdy (pomyśl dlaczego)

[Poszukujaca]

Część wspólna dwóch przestrzeni liniowych nie może być zbiorem pustym, ponieważ (jak podpowiada mi obrazowe wyobrażenie) zawsze częścią wspólną jest przynajmniej punkt \(\displaystyle{ (0,...,0)}\), który daje początek przestrzeniom liniowym dowolnego wymiaru.

[a4karo]

No własnie. I dlatego istotne jest rozróżnienie między symbolami \(\displaystyle{ \{0\}}\) i \(\displaystyle{ \emptyset}\).

[Poszukujaca]

Już rozumiem różnicę.

Aby suma prosta dwóch przestrzeni liniowych była równa ich sumie algebraicznej, to częścią wspólną tych przestrzeni może być tylko punkt \(\displaystyle{ (0,...,0)}\).

Tak?

[M Ciesielski]

Tak.

[Poszukujaca]

Tylko teraz nie wiem, kiedy tak się dzieje.. Jak trzeba sprawdzić ten warunek?

[pwrobel]

Myślę że jeśli będą liniowo niezależne to nie będą miały części wspólnej. Trzeba zbadać dla jakich parametrów te wszystkie 5 wektorów jest równoczesnie liniowo niezależnych.