Znaleźć rząd odwzorowania liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kryg196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 27 sie 2014, o 13:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 9 razy

Znaleźć rząd odwzorowania liniowego

Post autor: kryg196 »

Witam, prosiłbym o pomoc w zadaniu:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią liniową wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej 2. Znaleźć rząd odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ E: X \longrightarrow \mathbb{R}^{4}}\) opisanego wzorem: \(\displaystyle{ E(w)=(w(0),w(1),w(2),w(3))}\).

Coś tam wymyśliłem...

\(\displaystyle{ X}\) czyli przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 2 ma wymiar 3. \(\displaystyle{ w=ax^2+bx+c, w(0)=c, w(1)=a+b+c, w(2)=4a+2b+c, w(3)= 9a+3b+c}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2[x]}} \ni (x^2,x,1) \longrightarrow (c, a+b+c, 4a+2b+c, 9a+3b+c) \in\mathbb{R}^{4}}\).
Szukam \(\displaystyle{ KerE}\). Rozwiązuje ten układ i mi wychodzi \(\displaystyle{ a=0,b=0,c=0}\). Zatem \(\displaystyle{ KerE = \lbrace (0,0,0) \rbrace}\), więc \(\displaystyle{ dimKerE=1}\).
\(\displaystyle{ rankE + dimKerE = dimE}\) więc \(\displaystyle{ rankE=3-1=2}\).

Czy dobrze myśle? Proszę o odpowiedź.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Znaleźć rząd odwzorowania liniowego

Post autor: »

kryg196 pisze: Zatem \(\displaystyle{ KerE = \lbrace (0,0,0) \rbrace}\), więc \(\displaystyle{ dimKerE=1}\).
Nie, jądro to to co przechodzi na \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\), czyli wielomian zerowy. A wymiar trywialnej przestrzeni to \(\displaystyle{ 0}\), nie \(\displaystyle{ 1}\). Ponadto uzasadnić, że jądro jest trywialne można prościej: wystarczy wiedzieć, że jeśli wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) pierwiastków, to musi to być wielomian zerowy.

Q.
kryg196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 27 sie 2014, o 13:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 9 razy

Znaleźć rząd odwzorowania liniowego

Post autor: kryg196 »

Ok dziękuję za odpowiedz, rozumiem, że rząd odwzorowania wynosi 3?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Znaleźć rząd odwzorowania liniowego

Post autor: »

Tak.

Q.
ODPOWIEDZ