Metoda macierzowa

[BoJaNicNieUmiem]

Jak rozwiązać układ równań liniowych \(\displaystyle{ A \cdot X=B}\) metodą macierzową? Ktos cos pomoże? Z góry dziekuje..

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+z=0 \\
x +y-z=3 \\
4x+y-z=1\end{cases}}\)

[musialmi]

A słyszałaś kiedyś o np. wyznaczniku macierzy? Znasz wzory na rozwiązania układu metodą macierzową?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ A \cdot X=B\\
A^{-1}A \cdot X=A^{-1}B\\
X=A^{-1}B}\)

Oczywiście aby użyć tej metody trzeba najpierw (w razie potrzeby)
sprowadzić układ do postaci Cramera (macierz główna kwadratowa i nieosobliwa)
Liczysz rzędy macierzy głównej i rozszerzonej i sprawdzasz ich równość
Niech rzędy te wynoszą \(\displaystyle{ 0 \le r \le \min{liczba wierszy,liczba kolumn}}}\)
Wybierasz podmacierz kwadratową rzędu \(\displaystyle{ r}\)
Nadmiarowe równania skreślasz a nadmiarowe niewiadome przenosisz do wektora wyrazów wolnych

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+z=0 \\
x +y-z=3 \\
4x+y-z=1\end{cases}\\
\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0 \\
1&1&-1&0&1&0 \\
4&1&-1&0&0&1\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0 \\
0&1&-2&-1&1&0 \\
0&1&-5&-4&0&1\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0 \\
0&1&-2&-1&1&0 \\
0&0&-3&-3&-1&1\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}3&0&3&3&0&0 \\
0&3&-6&-3&3&0 \\
0&0&-3&-3&-1&1\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}3&0&0&0&-1&1 \\
0&3&0&3&5&-2 \\
0&0&-3&-3&-1&1\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}3&0&0&0&-1&1 \\
0&3&0&3&5&-2 \\
0&0&3&3&1&-1\end{bmatrix}\\
A^{-1}= \begin{bmatrix} 0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3} \\ 1&\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\\1&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3} \end{bmatrix}\\
X=\begin{bmatrix} 0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3} \\ 1&\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\\1&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 3\\1 \end{bmatrix}\\
X= \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{13}{3}\\\frac{2}{3} \end{bmatrix}}\)