Równanie macierzowe.

[Teson]

Jak rozwiązać to zadanie ?
Polecenie:
Wiadomo, że \(\displaystyle{ B^{-1}A =\begin{bmatrix} 1&-3\\\ 2&-5\end{bmatrix}}\).

Znaleźć macierz \(\displaystyle{ X}\) taką, że \(\displaystyle{ AXB^{-1} = I}\)

[szw1710]

Policz z ostatniego równania \(\displaystyle{ X}\). Potem skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ (CD)^{-1}=D^{-1}C^{-1}}\).

[Teson]

Więc wyszło mi, że \(\displaystyle{ X= A^{-1} \cdot I \cdot B}\)

Nie wiem jednak czy to jest dobrze, a jeśli jest to nie wiem zbytnio co dalej mam zrobić. Nie wiem gdzie wykorzystać wzór, który podałeś. W sumie to nie wzór, tylko własności macierzy.

[a4karo]

Dobrze.Wiesz, co to \(\displaystyle{ I}\)?

[Teson]

\(\displaystyle{ I}\) to macierz jednostkowa, która na przekątnej ma same jedynki a wokół zera. Wiem, że niezbyt matematycznie to ująłem

Takie pytanie do mojego równania co policzyłem.
Taki zapis: \(\displaystyle{ X= I \cdot B \cdot A^{-1}}\) byłby błędny prawda ?

[a4karo]

Taki byłby błędny. Ale może cos zrobisz z \(\displaystyle{ A^{-1}IB}\), skoro \(\displaystyle{ I}\) jest tym, czym jest.

[Teson]

Więc to będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ X= A^{-1}B}\)

[a4karo]

TAk, teraz możesz wykorzystac wskazowke szw1710

[Teson]

Nie potrafię skorzystać z tej wskazówki właśnie :/

[a4karo]

\(\displaystyle{ C=A^{-1},\ D=B}\)

[Teson]

Mhm, w ten sposób.
Więc jeżeli \(\displaystyle{ C=A^{-1},\ D=B}\) to \(\displaystyle{ (CD)^{-1}=D^{-1}C^{-1}}\), czyli
\(\displaystyle{ (CD)^{-1}=D^{-1}A}\), czyli \(\displaystyle{ (CD)^{-1}=B^{-1}A}\), czyli \(\displaystyle{ X=(CD)^{-1}}\)

Coś czuję, że źle zrobiłem, ale czy na tym etapie tok rozumowania jest dobry ?

[a4karo]

Skąd ta ostatnia równość?

OJ, chyba coś zamieszałem.

Zacznij od \(\displaystyle{ X^{-1}=(A^{-1}B)^{-1}=\cdots}\)

Pamiętaj, że znasz \(\displaystyle{ B_{-1}A}\).

[szw1710]

Dobrze podstawiłeś.

[Teson]

Więc tak, mogłem coś przekombinować, także śmiało proszę o krytykę.

\(\displaystyle{ X^{-1}=(A^{-1}B)^{-1}}\)
Założenie:
\(\displaystyle{ C= A^{-1}, D=B}\)
\(\displaystyle{ X^{-1} = (CD)^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X^{-1}=D^{-1}C^{-1}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ X^{-1}=B^{-1}A}\)
\(\displaystyle{ B^{-1}A}\) - znam z treści zadania

Założenie:
\(\displaystyle{ B^{-1}A= E}\)

\(\displaystyle{ X^{-1}= E}\)

\(\displaystyle{ X=E^{-1}}\)

\(\displaystyle{ X= \left( \begin{bmatrix} 1&-3\\\ 2&-5\end{bmatrix}\right) ^{-1}}\)

\(\displaystyle{ X= \begin{bmatrix} -5&3\\\ -2&1\end{bmatrix}}\)

[a4karo]

OK