jądro odwzorowania liniowego

[agnieszka92]

Jądrem odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ R_2[x] \to R_3 [x]}\) danego wzorem \(\displaystyle{ f(p) : x \to x^2p'(x)-x^2p(1)}\) jest zbiór
A. \(\displaystyle{ \{0\}}\)
B. \(\displaystyle{ \{ax+b: a,b \in R\}}\)
C. \(\displaystyle{ \{ax: a \in R\}}\)
D. \(\displaystyle{ \{ax+2a: a \in R\}}\)

Wiem, co to jest jądro. Aby je znaleźć, należy w tym przypadku rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ x^2p'(x)-x^2p(1)=0}\), ale szczerze, to nie umiem rozwiązać tego równania różniczkowego. Dlatego też, sprawdziłam każdą z odpowiedzi, czy odpowiednie funkcje spełnią to równanie. Otrzymałam, że prawdopodobnie odpowiedź C jest prawidłowa. Ale gdyby nie było podpowiedzi, to jak można się zabrać za tego typu zadanie?

[Marcinek665]

No trzeba rozwiązać to równanie różniczkowe, ale ono jest proste. Skoro \(\displaystyle{ x^2 p'(x) = x^2 p(1)}\), to \(\displaystyle{ p'(x)=p(1)}\). To po prawej to jakaś stała, a jeśli funkcja ma stałą pochodną, to znaczy, że jest liniowa, czyli \(\displaystyle{ p(x)=ax+b}\). Co więcej, gdy podstawimy \(\displaystyle{ p(x)=ax+b}\) do naszego operatora, to wyjdzie, że \(\displaystyle{ x^2 p'(x) - x^2p(1) = x^2(a - (a+b)) = -x^2b}\), czyli musi być \(\displaystyle{ b=0}\). Stąd ostatecznie odpowiedź to C.

[agnieszka92]

Aha. ;> Dzięki za rozjaśnienie sprawy. ;>