Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: Poszukujaca »

Jaką powierzchnię przedstawia takie równanie?

\(\displaystyle{ x^{T} \cdot A \cdot x=-1}\) dla \(\displaystyle{ x =(x_{1},x_{2},x_{3})}\)
Awatar użytkownika
PiotrowskiW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 649
Rejestracja: 14 lis 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wojkowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 67 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: PiotrowskiW »

Może to być hiperboloida dwupowłokowa.
Ale nie wiem czy tylko.
To zależy od macierzy A
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: Poszukujaca »

Macierz mam podaną:

\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}1&-1&2 \\ -1&1&2 \\ 2&2&-2 \end{array}\right]}\)

Czy wystarczy teraz zwyczajnie pomnożyć?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&-1&2 \\ -1&1&2 \\ 2&2&-2 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} x_{1}&x_{2}&x_{3} \end{array}\right]}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: yorgin »

Tak.

Poza tym polecam zapoznać się z
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: Poszukujaca »

Teraz widzę, że źle zapisałam te macierze i w takiej postaci nie da się ich pomnożyć. Wydaje mi się, że macierz symbolizującą jeden wektor zawsze powinno się zapisywać w jednej kolumnie.

Powinno być:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array}\right] \cdot A \cdot \left[\begin{array}{c} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array}\right]}\)

-- 27 sie 2014, o 10:51 --

Po pomnożeniu tych macierzy otrzymam formę kwadratową. Aby sorawdzić jaką powierzchnię opisuje jej równanie, mogę wykorzystać metodę tą omówioną na Wikipedii (o niezmiennikach). Nawet mi się podoba, choć wcześniej się z nią nie spotkałam.

Czy mogę też sprowadzić formę kwadratową do postaci kanonicznej meotdą przekształceń ortogonalnych, Lagrgae'a lub. Jacobiego? Uczyłam się kiedyś wszystkich tych trzech metod.

Czy mając postać kanoniczną tej formy kwadratowej będę mogła już powiedzieć jaką powierzchnię opisuje?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: yorgin »

Poszukujaca pisze:Teraz widzę, że źle zapisałam te macierze i w takiej postaci nie da się ich pomnożyć. Wydaje mi się, że macierz symbolizującą jeden wektor zawsze powinno się zapisywać w jednej kolumnie.
Faktycznie, nie zauważyłem "odwróconych" wektorów.
Poszukujaca pisze: Czy mogę też sprowadzić formę kwadratową do postaci kanonicznej meotdą przekształceń ortogonalnych, Lagrgae'a lub. Jacobiego? Uczyłam się kiedyś wszystkich tych trzech metod.
Oczywiście.
Poszukujaca pisze: Czy mając postać kanoniczną tej formy kwadratowej będę mogła już powiedzieć jaką powierzchnię opisuje?
Tak - ujmuje to tabela na wiki. Ja niestety nie jestem w stanie zawsze poprawnie ocenić powierzchni na bazie równania. Musiałbym się nauczyć na pamięć, ale to szybko wylatuje.
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: Poszukujaca »

Próbuję sprowadzić tę formę kwadratową do postaci kanonicznej metodą przekształceń ortogonalnych.

Policzyłam wartości własne, wektory własne i znalzłam bazę ortogonalną.

Teraz tylko nie wiem, jak na końcu zapisać to równanie formy... I po co mi baza ortogonalną skoro wspólczynniiki (te zgodnie z oznaczeniami na Wikipedii) \(\displaystyle{ a_{14}, a_{24}, a_{34}}\) są zerowe?

Mam coś takiego: \(\displaystyle{ 2( x')^{2}+2(y')^{2}-4(z')^{2}+1=0}\)

W porządku?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: yorgin »

Baza Ci jest do niczego nie potrzebna - określa tylko zamianę współrzednych, która istotna w zadaniu nie jest.

Wystarczy postać kanoniczna, która jest poprawna (sprawdzone wolframem).

Teraz szukasz w tabelce z wiki ni mniej ni więcej jak odpowiednie równanie zgodne z postacią kanonicza, która Ci wyszła
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Poszukujaca
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2775
Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1019 razy
Pomógł: 166 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: Poszukujaca »

Tabelka mówi, że jest to hiperboloida dwupowłokowa.

Spróbowałam zrobić jeszcze metodą z niezmiennikami, która jest na Wikipedii. Wyszło szybko i sprawnie. Tylko mam dylemat, bo współczynnik \(\displaystyle{ S}\) wychodzi mi zerowy, a co za tym idzie iloczyn \(\displaystyle{ S\delta}\) też jest zerowy. Nie ma tam uwzględnionego przypadku, co zrobić, kiedy \(\displaystyle{ S\delta}\) jest zerowe.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Jaką powierzchnię przedstawia równanie

Post autor: yorgin »

Masz rację - nie uwzględniono. Ślad macierzy \(\displaystyle{ S}\) jest niezależny od \(\displaystyle{ \delta}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta}\). Przypuszczam, że autor klasyfikacji "przegapił" przypadki osobliwe, które jednak powinny się znaleźć.
ODPOWIEDZ