Delta Kroneckera

[PLrc]

Rozważmy deltę Kroneckera \(\displaystyle{ \delta ^{\alpha}_{\beta}}\) Oczywiście z definicji: \(\displaystyle{ \delta ^{\alpha}_{\alpha}=1}\) Ale z drugiej strony delta Kroneckera jest mieszanym tensorem i zapis \(\displaystyle{ \delta ^{\alpha}_{\alpha}}\) zgodnie z konwencją sumacyjną Einsteina oznacza sumowanie po wskaźniku \(\displaystyle{ \alpha}\), a więc (w przestrzeni trójwymiarowej) powinniśmy mieć: \(\displaystyle{ \delta ^{\alpha}_{\alpha}=\delta ^{1}_{1}+\delta ^{2}_{2}+\delta ^{3}_{3}=1+1+1=3}\) Jak rozwiązać ten paradoks?

[Fenn]

To nie paradoks, a brak konsekwencji. Jeśli używasz konwencji sumacyjnej to \(\displaystyle{ \delta ^{\alpha}_{\alpha} = n}\) dla przestrzeni n-wymiarowej, bo sumujesz po powtarzającym się indeksie.

Oczywiście z definicji: \(\displaystyle{ \delta ^{\alpha}_{\alpha}=1}\)

Tylko pod warunkiem, że nie stosujesz tu konwencji sumacyjnej. Definiując deltę musisz zaznaczyć, że nie sumujesz po powtarzającym się indeksie.

[PLrc]

Czyli nie da się obliczyć kontrakcji delty Kroneckera?

[AiDi]

Da się, przecież Fenn napisał że jest ona równa wymiarowi przestrzeni. Chodzi o rozumienie zapisu.

[PLrc]

Ale jeżeli już sobie zdefiniuję deltę Kroneckera jako: \(\displaystyle{ \delta^{\alpha}_{\beta}=\begin{cases} 1, \ \alpha=\beta\\0,\ \alpha \neq \beta\end{cases}}\) to wtedy nie mogę poddać jej kontrakcji?

[mariakow]

Zawsze możesz zrobić kontrakcję.

[PLrc]

Zaraz, zaraz: Wasze posty sobie przeczą, albo ja tu czegoś na prawdę nie rozumiem. Jak zrobić kontrakcję tensora, który zdefiniowałem w swoim poprzednim poście?

[AiDi]

Nic niczemu nie przeczy, po prostu wszystko zależy od interpretacji zapisu. Jak napiszesz sobie jawnie kontrakcję jako \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\delta^i_i}\) to wszystko jest ok, czyż nie? Konwencja sumacyjna pomija znak sumy, dlatego wtedy pojawia się dwuznaczność, którą trzeba rozwiać słownie - teraz stosujemy konwencję sumacyjną. To tylko kwestia zapisu, nie matematyki. Konflikt oznaczeń.

[PLrc]

Tak, jak zapiszemy sobie kontrakcję z użyciem symbolu sumy, to wszystko jest ok. Taka odpowiedź mnie satysfakcjonuje.