Macierz formy dwuliniowej

PLrc · Post autor: **PLrc** » 23 sie 2014, o 17:05

Czy każda macierz kwadratowa opisuje jakąś formę dwuliniową, czy trzeba nałożyć na nią jakieś dodatkowe warunki?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 23 sie 2014, o 18:59

Tak, każda.

PLrc · Post autor: **PLrc** » 24 sie 2014, o 00:59

Ale przecież macierz formy dwuliniowej jest tensorem, a nie każda macierz jest tensorem.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 24 sie 2014, o 08:11

Ale jak mam macierz \(\displaystyle{ A}\), to odwzorowanie zadane wzorem:
\(\displaystyle{ F(v,w) = v^t A w}\)
jest dwuliniowe.

PLrc · Post autor: **PLrc** » 25 sie 2014, o 15:17

Z tego co piszesz wynika, że każda macierz jest tensorem, a to trochę zaskakujący wniosek.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 25 sie 2014, o 16:47

Nie, dlaczego macierz odwzorowania dwuliniowego ma być tensorem?

PLrc · Post autor: **PLrc** » 25 sie 2014, o 19:13

No bo tensor jest zdefiniowany jako odwzorowanie liniowe wektorów (i kowektorów):
Tensor drugiego rzędu jest liniowym odwzorowaniem dwóch wektorów, czyli formą dwuliniową. Natomiast macierz tej formy dwuliniowej to składowe tego tensora. Jeżeli się mylę, to gdzie i dlaczego?

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 27 sie 2014, o 15:59

Czy macierz formy dwuliniowej nie musi być symetryczna?

PLrc · Post autor: **PLrc** » 28 sie 2014, o 01:18

Jak macierz formy dwuliniowej będzie symetryczna, to wtedy forma dwuliniowa będzie symetryczną Iloczyn skalarny jest np. formą symetryczną.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 28 sie 2014, o 09:07

PiotrowskiW pisze:Czy macierz formy dwuliniowej nie musi być symetryczna?

Być może pomyślałeś o formie kwadratowej - ta musi

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 28 sie 2014, o 18:43

musialmi,
Oczywiście