Macierz złożenia odwzorowań w różnych bazach

[Poszukujaca]

Mam bardzo ciekawe zadanie. Nie wydaje się trudne do rozwiązania, ale napotykam na pewne trudności, które chciałabym wyjaśnić.

Mam dane dwa odwzorowania: \(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{3}}\) i \(\displaystyle{ g: R^{3} \rightarrow R^{3}}\), cztery bazy:
\(\displaystyle{ B_{1}=(v_{1},v_{2},v_{3}),\\ B_{2}=(u_{1},u_{2},u_{3}),\\ B_{3}=(-v_{1}+v_{2},-2v_{1}+3v_{2}+v_{3},v_{1}+v_{2}+v_{3}),\\ B_{4}=(2u_{1}+2u_{2}+u_{3},u_{2}-u_{3},3u_{1}+3u_{2}+u_{3})}\)
oraz macierze tych odwzorowań \(\displaystyle{ M_{f}(B_{1},B_{2}), M_{g}(B_{3},B_{4})}\).

Znaleźć muszę macierze: \(\displaystyle{ M_{f \circ g^{-1}}(B_{4},B_{4}), M_{g \circ f^{-1}}(B_{2},B_{2})}\).

Same obliczenia są dosyć żmudne, ponieważ aby dotrzeć do tych szukanych macierzy, musimy znaleźć najpierw kilka innych oraz policzyć macierze przejścia zgodnie ze wzorami na zmianę baz odwzorowania.

Napisałam takie zależności:

\(\displaystyle{ M_{f \circ g^{-1}}(B_{4},B_{4})= M_{f}(B_{2},B_{4}) \cdot M_{g^{-1}}(B_{4},B_{2})}\)

\(\displaystyle{ M_{g \circ f^{-1}}(B_{2},B_{2})= M_{g}(B_{2},B_{2}) \cdot M_{f^{-1}}(B_{2},B_{2})}\)

Ptrzeba znalźć macierze z powyższego wzoru, tych które mamy dane na razie nie możemy tutaj wykorzystać.

Trzeba kolejnych wzorów:

\(\displaystyle{ M_{f}(B_{2},B_{4})= P_{B_{2} \rightarrow B_{2}}^{-1} \cdot M_{f}(B_{1},B_{2}) \cdot P_{B_{1} \rightarrow B_{4}}}\)

\(\displaystyle{ M_{g^{-1}}(B_{4},B_{2}) = P_{B_{4} \rightarrow B_{4}}^{-1} \cdot M_{g^{-1}}(B_{3},B_{4}) \cdot P_{B_{3} \rightarrow B_{2}}}\)

\(\displaystyle{ M_{f^{-1}}(B_{2},B_{2}) = P_{B_{2} \rightarrow B_{2}}^{-1} \cdot M_{f^{-1}}(B_{1},B_{2}) \cdot P_{B_{1} \rightarrow B_{2}}}\)

\(\displaystyle{ M_{g}(B_{2},B_{2})= P_{B_{4} \rightarrow B_{2}}^{-1} \cdot M_{g}(B_{3},B_{4}) \cdot P_{B_{3} \rightarrow B_{2}}}\)

Czy te wzory są dobre? Czy moje myślenia jak dotąd jest prawidłowe?

Macierze odwzorowań odwrotnych łatwo wyznaczyć, odwracając macierz odwzorowań, które mamy dane. Macierze przejścia miedzy tymi samymi bazami to po prostu macierze jednostkowe. Problem pojawia się kiedy mamy wzynaczyć takie macierze: \(\displaystyle{ P_{B_{1} \rightarrow B_{4}}}\),
\(\displaystyle{ P_{B_{3} \rightarrow B_{2}}}\). Jak to zrobić?

[Kartezjusz]

Pokaż, że złożenie przekształceń ma macierz powstałą z mnożenia macierzy

[Poszukujaca]

A czy wzory, które napisałam są prawdziwe?

Jak pokazać, że złożenie tych odwzorowań ma macierz powstałą z mnożenia? Czy nie jest to oczywiste? Nie rozumiem dlaczego wymaga to pokazywania...