Rząd macierzy i równanie

[Poszukujaca]

Jak poradzić sobie z czymś takim?

Mam znaleźć rząd macierzy A z równania:

\(\displaystyle{ 2<r(2A^{2})+det A < \frac{\sqrt{5}\pi}{e}}\)

[yorgin]

Wiele pytań pomocniczych:

Jakie jest numeryczne przybliżenie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}\pi}{e}}\) ?

Co z tego można wywnioskować o wyrażeniu "w środku"?

Rząd \(\displaystyle{ 2A^2}\) jest całkowity. Co można o nim wywnioskować?

Czy rząd \(\displaystyle{ A}\) może być zerowy?

Co z tego można wywnioskować o rzędzie samej macierzy \(\displaystyle{ A}\)?

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}\pi}{e} \approx 2,58}\)

Załóżmy, że macierz jest wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\) - musi być kwadratowa, skoro istnieje jej wyznacznik.

Zatem jeśli wyznacznik jej będzie zerowy, to: \(\displaystyle{ r(A)<n}\).

Więcej pomysłów na razie nie mam.

[yorgin]

Póki co jest dobrze.

Ale wiesz, że

\(\displaystyle{ 2<r(2A^{2})+det A < \frac{\sqrt{5}\pi}{e}\approx 2.58}\)

Czy wyznacznik może być zerowy?

[Poszukujaca]

Nie potrafię zauważyć, czy można mając tyle danych, można stwierdzić niezerowość wyznaczenika.

To co mamy w środku nierówności nie może być liczbą całkowitą, więc... Rząd macierzy zawsze jest liczbą całkowitą, więc \(\displaystyle{ r(2A^{2})}\) chyba również musi być całkowity.

[yorgin]

To co mamy w środku nierówności nie może być liczbą całkowitą, więc... Rząd macierzy zawsze jest liczbą całkowitą, więc \(\displaystyle{ r(2A^{2})}\) chyba również musi być całkowity.

Poprawnie. Skoro tak jest, to co z wyznacznikiem? Może być zerowy? To jest kluczowe pytanie.

[Poszukujaca]

Myślę, że wyznacznik nie może być zerowy, bo \(\displaystyle{ r(2A^{2}) \in \left\{0,1,2,3,...\right\}}\) czyli \(\displaystyle{ r(2A^{2})}\) jest liczbą całkowitą, a to co mamy w środku nierówności nie może być liczbą całkowitą. Zatem wartość wyznacznik musi mieć część ułamkową.

Ale jak dalej dojść do wartości rzędu macierzy A?

Skoro wyznacznik jest niezerowy to rząd macierzy jest równy jej wymiarowi \(\displaystyle{ n}\).

Jaka zależność zachodzi pomiędzy \(\displaystyle{ r(A)}\) i \(\displaystyle{ r(2A^{2})}\)?

[yorgin]

Skoro wyznacznik nie może być zerowy, to rząd macierzy jest równy \(\displaystyle{ n}\). Jakie teraz wartości może przyjąć \(\displaystyle{ n}\) tak, by spełnione były nierówności w treści zadania?

Jaka zależność zachodzi pomiędzy \(\displaystyle{ r(A)}\) i \(\displaystyle{ r(2A^2)}\)?

To jest dobre pytanie i proponuję sobie przypomnieć podstawowe własności rzędu macierzy. W szczególności - skoro wyznacznik jest niezerowy, jaki znak (równości,nierówności) wstawiamy między \(\displaystyle{ r(A)}\) oraz \(\displaystyle{ r(A^2)}\).

[Poszukujaca]

Dla macierzy kwadratowych rzędu n zachodzi równość:

\(\displaystyle{ r (A) + r (B) -n \le r(AB)}\)

Czyli \(\displaystyle{ r(2A^{2}) \ge 2 +2r(A) - n}\)

\(\displaystyle{ r(2A^{2}) \ge 2 +n}\)

[yorgin]

Po pierwsze - tam nie ma równości, jest nierówność.

Po drugie - żadne z przejść nie zostało wykonane poprawnie.

Po trzecie - ta nierówność do niczego się nie przyda.

Pytam tylko i wyłącznie o relację między rzędami macierzy \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A^2}\). Nic ponadto. Ponadto to wszystko dzieje się przy wiedzy takiej, że \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\) co znacząco powinno ułatwić odpowiedź.

[Poszukujaca]

Z nierówności Sylwestera wynika, że:

\(\displaystyle{ r(A^{2}) \ge 2 r(A) - n}\)

[yorgin]

Cytuję:

Po trzecie - ta nierówność do niczego się nie przyda.

Pytam tylko i wyłącznie o relację między rzędami macierzy \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A^2}\). Nic ponadto. Ponadto to wszystko dzieje się przy wiedzy takiej, że \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\) co znacząco powinno ułatwić odpowiedź.

Ciąg dalszy z mojej strony nie wcześniej jak jutro około 9 rano.

[Poszukujaca]

W notatkach z wykładu odnalazłam takie twierdzenie:

Jeżeli \(\displaystyle{ P \in M_{n \times n} \wedge P \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ A \in M_{n \times m}}\) (\(\displaystyle{ A \in M_{m \times n}}\)), to \(\displaystyle{ r(P A)=r(A)}\) (\(\displaystyle{ r(AP)=r(A)}\)).

Przekładając to na naszą sytuację:

\(\displaystyle{ r(A)=r(A^{2})}\)

[yorgin]

Dużo znaczków ale końcowy wmiosek jest poprawny.

Teraz pytanie - skoro macierz jest wymiaru \(\displaystyle{ n}\), to jaki jest rząd macierzy \(\displaystyle{ 2A^2}\) i znów - jaką liczbową wartość może ten rząd przyjąć uwzględniwszy nierówności z treści zadania?

[Poszukujaca]

Czy \(\displaystyle{ r(2A^{2})=n}\)?