Dowód z liniową powłoką

[Poszukujaca]

Zawsze mam największy problem z zadaniami relacji między zbiorami, gdzie trzeba coś udowodnić...

Jak udowodnić coś takiego? Na co mogę się powołać, z czego skorzystać? I przede wszystkim jak zapisywać takie dowody? Może poda ktoś podobny przykład?

1) \(\displaystyle{ (lin A \cap lin B=\emptyset) \Rightarrow (A \cap B=\emptyset)}\)

2) \(\displaystyle{ lin(A \cap B) \subset (lin A \cap lin B)}\)

[szw1710]

2) jest dziecinnie łatwe. Masz wektor będący kombinacją liniową wektorów z \(\displaystyle{ A\cap B}\). Wektory te należą zarówno do \(\displaystyle{ A}\), jak i do \(\displaystyle{ B}\). Co z tego wynika?

1) poprzednik jet fałszywy, albowiem wektor zerowy zawsze należy do podprzestrzeni liniowej. Więc wynika stąd wszystko. Np. że jestem papieżem Ale poważnie, to chyba miałaś na myśli, że \(\displaystyle{ \text{lin}\,A\cap\text{lin}\,B=\{0\}}\). Co stąd wiadomo o \(\displaystyle{ A\cap B}\)? Zastanów się, co by było, gdyby \(\displaystyle{ v\in A\cap B}\). Wtedy podprzestrzeń generowana przez \(\displaystyle{ v}\) zawiera się w \(\displaystyle{ \text{lin}\,A\cap\text{lin}\,B}\). Dlaczego? Więc jaka jest konkluzja? Ale uważaj: jest tu pewna pułapka. Nie powiem jaka.

[Poszukujaca]

2) Czy mogę skorzystać z zależności: \(\displaystyle{ (A \subset B) \Rightarrow (lin A \subset lin B)}\)?
Jeśli przestrzeń A jest podprzestrzenią przestrzeni B, to liniowa powłoka przestrzeni A jest podprzestrzenią liniowej powłoki przestrzeni B.
Czy moge tak to rozumieć?

1) Nie chodzi o wektor zerowy, ale zbiór pusty. Czyli nie ma co udowadniać, bo poprzednik implikacji jest fałszywy, a co za tym idzie cała implikacja jest prawdziwa niezależnie od następnika.

[Kartezjusz]

Też możesz

[PiotrowskiW]

\(\displaystyle{ (lin A \cap lin B=\emptyset) \Rightarrow (A \cap B=\emptyset)}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ A \in linA}\) oraz\(\displaystyle{ B \in linB}\)
Zatem (1) jest oczywiste.

[matmatmm]

Czegoś tu nie rozumiem. \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są wektorami, czy zbiorami wektorów?

[Poszukujaca]

matmatmm, zbiorami wektorów.