Znajdowanie bazy z ustalonymi współrzędnymi wektora w niej

[Poszukujaca]

Jak znaleźć bazę takiej podprzestrzeni:

\(\displaystyle{ V=\left\{ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \in R^{4}: x_{1}+x_{2}-3x_{3}+x_{4}=0, 2x_{1}+5x_{2}-x_{4}=0\right\}}\) taką, że wektor \(\displaystyle{ w=(7,-1,5,9)}\) miała w niej współrzędne \(\displaystyle{ [2,-1]}\).

[pyzol]

Masz sobie dwa wektory bazowe:
\(\displaystyle{ u=(u_1,u_2,u_3,u_4)\\
v=(v_1,v_2,v_3,v_4)}\)
Wiesz, że \(\displaystyle{ 2u+v=(7,-1,5,9)}\).
Dodatkowo, wiem, że te wektory należą do podprzestrzeni, więc:
\(\displaystyle{ u_4=2u_1+5_2\\
u_3=u_1+2u_2...}\)
Otrzymasz układ równań, z którego powinnaś znaleźć dane wektory.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ 2u-v=(7,-1,5,9)}\)

Wektory \(\displaystyle{ u, v}\) są postaci: \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{1}+2x_{2},2x_{1}+5x_{2})}\).

\(\displaystyle{ 2u-v=2(u_{1},u_{2},u_{1}+2u_{2},2u_{1}+5u_{2})-(v_{1},v_{2},v_{1}+2v_{2},2v_{1}+5v_{2}) =(7,-1,5,9)}\)

Teraz mogę przyrównać każdą współrzędna 7,-1,5,9 do sumy współrzędnych wektorów u,v z uwzględnieniem współczynników 2, -1, ale gdy tak zrobię dostanę układ nieoznaczony.. i co wtedy?

[pyzol]

A to mnie zaskoczyło, bo myślałem, że tak pójdzie.
Jeśli chodzi o podprzestrzeń, to wektor należący do niej jest postaci:
\(\displaystyle{ [x_1,x_2,x_1+2x_2,2x_1+5x_2]=x_1[1,0,1,2]+x_2[0,1,2,5]}\)
No i mamy dwa wektory, które tworzą bazę.
Dopasujmy te parametry, aby spełnione było równanie:
\(\displaystyle{ 2x_1[1,0,1,2]-x_2[0,1,2,5]=[7,-1,5,9]}\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ x_1=3.5,x_2=1}\).

[Poszukujaca]

pyzol, też mnie to zaskoczyło

Pomijając naszego wektora \(\displaystyle{ w}\), dla którego dobiera bazę..

Czy w ogólności bazą tej podprzestrzeni są wszystkie pary wektorów spełniających ten warunek?
\(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{1}+2x_{2},2x_{1}+5x_{2})}\)

A to oznacza, że możemy sobie dobrać jakiekolwiek parametry \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \in R}\) i mamy bazę tej podprzestrzeni?

[Kartezjusz]

to otrzymałaś przestrzeń. Wektory z trzeciej linijki Pyzola to jest baza

[Poszukujaca]

Czyli wszystkie wektory spełniające równanie: \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{1}+2x_{2},2x_{1}+5x_{2})}\) stanowią przestrzeń \(\displaystyle{ V}\).

Baza tej przestrzeni, którą szukamy to: \(\displaystyle{ B=\left\{ (7,0,7,14),(0,-1-2-5)\right\}}\).

Czy ta przestrzeń ma tylko jedną bazę?