Wyznaczyć bazę podprzestrzeni

[Poszukujaca]

Jak wyznaczyć bazę takiej podprzestrzeni?

\(\displaystyle{ W=\left[ (x,y,z): \ln a^{x}+\ln b^{y}+\ln c^{z}=0 \right]}\)

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ \ln a^{x}=x \ln a}\)Logarytm jest suriekcją na \(\displaystyle{ R}\)

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ x \ln a+ y \ln b + z \ln c =0}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{-x \ln a - y \ln b}{\ln c}}\)

Tylko co dalej?

[yorgin]

A gdybyś miała \(\displaystyle{ ax+by+cz=0}\), poradziłabyś sobie? Oba zadania rozwiązuje się tak samo.

[Poszukujaca]

yorgin, w takim przypadku byłoby:

\(\displaystyle{ \left( x,y,\frac{-a}{c}x,\frac{-b}{c}y\right)=\left\{ \left( 1,0,\frac{-a}{c},0\right),\left( 0,1,0,\frac{-b}{c}\right) \right\} =B}\).

Czy baza składałaby się z takich dwóch wektorów?

[Lider_M]

Oczywiście przy założeniu, że \(\displaystyle{ c\neq 0}\).

Dlaczego wektory mają \(\displaystyle{ 4}\) współrzędne?

Ponadto nie zachodzi równość

\(\displaystyle{ \left( x,y,\frac{-a}{c}x,\frac{-b}{c}y\right)=\left\{ \left( 1,0,\frac{-a}{c},0\right),\left( 0,1,0,\frac{-b}{c}\right) \right\}}\)

Bo przyrównujesz wektor ze zbiorem dwóch wektorów.

[Poszukujaca]

Racja, między tymi wektorami powinien być znak \(\displaystyle{ +}\). Ale dlaczego nie mają mieć 4 współrzędnych?

[Lider_M]

Bo w definicji \(\displaystyle{ W}\) mamy \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), czyli \(\displaystyle{ 3}\) współrzędne.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ \left( x,y,-\frac{a}{c}x-\frac{b}{c}y\right) = x \left( 1,0-\frac{a}{c}\right) + y \left( 0,1,-\frac{b}{c}\right)}\)

Bazą tej podprzestrzeni są właśnie te dwa wektory.

Dobrze?

[Lider_M]

Przy założeniu, że \(\displaystyle{ c\neq 0}\).

[Poszukujaca]

Czyli analogicznie do mojego pierwszego przykładu powinno być:

\(\displaystyle{ (x,y,-x \log_{c}a- y \log_{c}a)=x(1,0,- \log_{c}a)+y(0,1,-\log_{c}b)}\)

\(\displaystyle{ B=\left\{ (1,0,-\log_{c}a),(0,1,-\log_{c}b)\right\}}\)

Czy ta baza jest wyznaczona poprawnie?

założenia: \(\displaystyle{ a>0, b>0, c>0, c \neq 1}\)

[Lider_M]

Tak, dobrze jeszcze rozważyć inne przypadki, tzn. co by było gdyby \(\displaystyle{ c=1}\) (w pierwotnym poleceniu) (oczywiście dziedzina tych parametrów, to \(\displaystyle{ a,b,c>0}\)).

[Poszukujaca]

A co mogę powiedzieć o przypadku, kiedy \(\displaystyle{ c=1}\)? Czy baza tej podprzestrzeni dla takiego parametru w ogóle nie istnieje?

Teraz mam jeszcze pytanie: dla jakich \(\displaystyle{ a,b,c}\) wektor \(\displaystyle{ v=(1,1,-1)}\) należy do \(\displaystyle{ W}\)?

Wydaje mi się, że aby tak było musi byc spełnione równanie: \(\displaystyle{ \ln a+\ln b -\ln c=0 \Leftrightarrow \ln \frac{ab}{c}=0 \Leftrightarrow ab=c}\)

Czy dobrze?

[Lider_M]

A co mogę powiedzieć o przypadku, kiedy \(\displaystyle{ c=1}\)? Czy baza tej podprzestrzeni dla takiego parametru w ogóle nie istnieje?

Wstaw \(\displaystyle{ c=1}\) i przelicz od początku.

Teraz mam jeszcze pytanie: dla jakich \(\displaystyle{ a,b,c}\) wektor \(\displaystyle{ v=(1,1,-1)}\) należy do \(\displaystyle{ W}\)?

Wydaje mi się, że aby tak było musi byc spełnione równanie: \(\displaystyle{ \ln a+\ln b -\ln c=0 \Leftrightarrow \ln \frac{ab}{c}=0 \Leftrightarrow ab=c}\)

Czy dobrze?

Dobrze, tylko dopisz jeszcze, że \(\displaystyle{ a,b,c>0}\).