Wektor własny macierzy.

[tomson485]

Witam wszystkich!
Mam za zadanie obliczyć unormowany wektor własny macierzy B dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=4}\):
\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 1&2&1\\2&3&-1\\1&-1&4\end{bmatrix}}\)
Rozwiązuję układ równań \(\displaystyle{ $(B-\lambda I)X=0$}\) tak jak uczono mnie na zajęciach:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -3&2&1\\2&-1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}}\)
Lecz jedyne co mi wychodzi to wektor zerowy, choć w żadnym wypadku nie powinien. Gdzie zatem popełniam błąd?
Proszę o pomoc

[Qń]

Rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ t\cdot [1,1,1]}\), jeśli wychodzi Ci inaczej i nie umiesz znaleźć błędu w swoich rachunkach, to przedstaw te rachunki, a ktoś na pewno sprawdzi.

Q.

[tomson485]

Kompletnie mi się pomieszało. Policzyłem to ponownie. Z trzeciego równania wynika, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), zatem podstawiłem to do równania drugiego, itd. Wyszło mi \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3}\), czyli, jeśli dobrze rozumiem, mogę zapisać wektor X w postaci:
\(\displaystyle{ X=x_1\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}\). Następnie jego długość przyrównałem do 1, czyli: \(\displaystyle{ \sqrt{||X||}=1 \Rightarrow 3x_1^2=1 \Rightarrow x_1=1/\sqrt{3}}\). Koniec końców:
\(\displaystyle{ X=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}\). O to w tym chodziło?