Podprzestrzeń liniowa

[mCichy13]

Witam!

Mam sprawdzić czy podany zbiór jest przestrzenią liniową

\(\displaystyle{ U=\left\{ (2x,x+y,0,1):x,y \in R\right\}, V = R^{4}}\)

Czy wystarczy dobrać takie dwa wektory należące do U które po dodaniu nie będą należeć do U? np

\(\displaystyle{ (2,2,0,1)+(4,4,0,1)=(6,6,0,2)}\)

Czwarty parametr to dwa, a ma być 1 więc wektor nie należy do U, a więc zbiór U nie jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V. Czy takie rozwiązanie jest ok?

[Kaf]

Tak, Twoje rozwiązanie jest poprawne.

[mCichy13]

Dzięki a powiedz jak sprawdzić czy podany zbiór jest przestrzenią liniową? Np

Zbiór wszystkich wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego? Dochodzi jakiś dodatkowy warunek czy wystarczy sprawdzić

\(\displaystyle{ ap+bq \in R_{2}[x] : p,q \in R_{2}[x] , a,b \in R}\)

Generalnie chodzi o różnice między podprzestrzenią a przestrzenią liniową?

[M Ciesielski]

Warunek na bycie przestrzenią liniową znasz, kombinacja liniowa elementów ze zbioru musi tam należeć. No a żeby jakiś zbiór był podprzestrzenią liniową jakiejś przestrzeni, to musi się tam zawierać i sam w sobie byś przestrzenią liniową.

[Kaf]

Do sprawdzenia, czy dany podzbiór jakiejś przestrzeni liniowej jest podprzestrzenią liniową, wystarczy sprawdzić czy jest zamknięty ze względu na mnożenie przez elementy ustalonego ciała i dodawanie. Taka jest bowiem definicja podprzestrzeni liniowej. Każda podprzestrzeń dowolnej przestrzeni liniowej nad ustalonym ciałem \(\displaystyle{ K}\) również jest przestrzenią liniową nad tymże ciałem. Ogólnie w matematyce podprzestrzeń dowolnej przestrzeni jakiegoś typu to taki jej podzbiór, który zachowuje jej najważniejsze własności (z punktu widzenia danej teorii).

[M Ciesielski]

...czyli to, co napisałem wyżej

[mCichy13]

Czyli do udowodnienia że podzbiór jest podprzestrzenią wystarczy sprawdzić te dwa warunki które podałem wyżej, ale dalej nie łapie różnicy między podprzestrzenią a przestrzenią... Gdybyście mogli mi to pokazać na jakimś prostym przykładzie będę bardzo wdzięczny

[Kaf]

Każda podprzestrzeń liniowa jest również przestrzenią liniową (nad tym samym ciałem). Chodzi o to, że rozpatrujemy ją jako część czegoś większego (chociaż to nie do końca poprawne określenie: mamy przecież też podprzestrzeń niewłaściwą, składającą się z całej przestrzeni), w dodatku dosyć autonomiczną część:
Rozpatrzmy standardową przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2}\) nad ciałem liczb rzeczywistych. Każda prosta na tej płaszczyźnie jest podprzestrzenią liniową, bo przy dodawaniu i skalowaniu wektorów prostej żaden nie ucieknie poza nią (to oznacza w tym wypadku autonomiczność).