Jasne jest, że jeżeli \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ W}\) są przestrzeniami wektorowymi skończonego wymiaru i \(\displaystyle{ v \in V}\), \(\displaystyle{ w \in W}\), to iloczyn tensorowy wektora \(\displaystyle{ v}\) przez wektor \(\displaystyle{ w}\) można zdefiniować następująco:
\(\displaystyle{ v \otimes w := (v_1 w, v_2 w, \dots, v_k w).}\)
Jak jednak zdefiniować iloczyn tensorowy wektorów, jeśli obie z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) są wymiaru nieskończonego?
Iloczyn tensorowy wektorów - wymiar nieskończony
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Iloczyn tensorowy wektorów - wymiar nieskończony
czyżby wymiar \(\displaystyle{ w}\) był nieistotny?
-
Kmitah
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 16 lut 2012, o 16:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki / Białystok
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 28 razy
Iloczyn tensorowy wektorów - wymiar nieskończony
Raczej odwrotnie: jeżeli przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) jest wymiaru nieskończonego, a \(\displaystyle{ W}\) \(\displaystyle{ -}\) skończonego, to podana przeze mnie definicja iloczynu tensorowego wektorów "działa":
\(\displaystyle{ v \otimes w = (v_1 w, v_2 w, v_3 w, \dots)}\).
\(\displaystyle{ v \otimes w = (v_1 w, v_2 w, v_3 w, \dots)}\).
-
AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Iloczyn tensorowy wektorów - wymiar nieskończony
Dla mnie ta "definicja" jest w ogóle dziwna i mi się nie podoba 
Pytanie czy rozróżniasz iloczyn tensorowy wektorów, od iloczynu tensorowego przestrzeni wektorowych, o ile się tak da. Wolę tę ścisłą definicję wykorzystującą własność uniwersalności, etc. Można ją znaleźć w Analizie II Maurina, w książce Kostrikina, czy w Notes on Differential Geometry and Lie Groups - J.Galliera. Nie zauważyłem w nich zakładania skończonego wymiaru przestrzeni wektorowych. Dla mnie w ogóle lepiej jest myśleć o iloczynach tensorowych bardziej abstrakcyjnie. Przytoczę definicję:
Iloczynem tensorowym \(\displaystyle{ n\geqslant 2}\) przestrzeni wektorowych \(\displaystyle{ E_1,\ldots, E_n}\) nazywamy przestrzeń wektorową \(\displaystyle{ T}\), razem z wieloliniowym odwzorowaniem \(\displaystyle{ \varphi: E_1\times\ldots\times E_n\rightarrow T}\), takim, że dla każdej przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ F}\) i dla każdego odwzorowania wieloliniowego \(\displaystyle{ f: E_1\times\ldots\times E_n\rightarrow F}\), istnieje jedyne odwzorowanie \(\displaystyle{ f_\otimes: T\rightarrow F}\), takie że \(\displaystyle{ f=f_\otimes \circ \varphi}\).
No i oznaczamy \(\displaystyle{ T=E_1\otimes\ldots\otimes E_n}\), przy czym iloczyn tensorowy jest wyznaczony z dokładnością do izomorfizmu. Elementy \(\displaystyle{ T}\) oznaczamy w wiadomy sposób, ale sposób ten to bardziej umowa. Wydaje mi się jednak, że lepiej o nich myśleć 'całościowo' niż rzeczywiście jako o jakimś iloczynie wektorów, bo dawno temu takie myślenie prowadziło mnie do wielu problemów w rozumieniu wielu rzeczy Dlaczego np. to co mam w podpisie wygląda tak, jak wygląda.
I przyznam szczerze, że Twoją definicję widzę pierwszy raz w życiu. Z pewnością istnieje jakaś odpowiedniość między iloczynem tensorowym dwóch przestrzeni wektorowych, a przestrzenią macierzy stosownych wymiarów (iloczyn dwóch wektorów zadaje macierz, tak jak napisałeś), ale raczej nie jest to izomorfizm (bo danej macierzy może odpowiadać wiele par wektorów). Uogólnienie tego na iloczyn tensorowy większej liczby przestrzeni dawałby nam wielowymiarowe macierze, co już jest dla mnie zbędną zabawą intelektualną, która kompletnie niczego nie wnosi.
Pytanie czy rozróżniasz iloczyn tensorowy wektorów, od iloczynu tensorowego przestrzeni wektorowych, o ile się tak da. Wolę tę ścisłą definicję wykorzystującą własność uniwersalności, etc. Można ją znaleźć w Analizie II Maurina, w książce Kostrikina, czy w Notes on Differential Geometry and Lie Groups - J.Galliera. Nie zauważyłem w nich zakładania skończonego wymiaru przestrzeni wektorowych. Dla mnie w ogóle lepiej jest myśleć o iloczynach tensorowych bardziej abstrakcyjnie. Przytoczę definicję:Iloczynem tensorowym \(\displaystyle{ n\geqslant 2}\) przestrzeni wektorowych \(\displaystyle{ E_1,\ldots, E_n}\) nazywamy przestrzeń wektorową \(\displaystyle{ T}\), razem z wieloliniowym odwzorowaniem \(\displaystyle{ \varphi: E_1\times\ldots\times E_n\rightarrow T}\), takim, że dla każdej przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ F}\) i dla każdego odwzorowania wieloliniowego \(\displaystyle{ f: E_1\times\ldots\times E_n\rightarrow F}\), istnieje jedyne odwzorowanie \(\displaystyle{ f_\otimes: T\rightarrow F}\), takie że \(\displaystyle{ f=f_\otimes \circ \varphi}\).
No i oznaczamy \(\displaystyle{ T=E_1\otimes\ldots\otimes E_n}\), przy czym iloczyn tensorowy jest wyznaczony z dokładnością do izomorfizmu. Elementy \(\displaystyle{ T}\) oznaczamy w wiadomy sposób, ale sposób ten to bardziej umowa. Wydaje mi się jednak, że lepiej o nich myśleć 'całościowo' niż rzeczywiście jako o jakimś iloczynie wektorów, bo dawno temu takie myślenie prowadziło mnie do wielu problemów w rozumieniu wielu rzeczy
Dlaczego np. to co mam w podpisie wygląda tak, jak wygląda.I przyznam szczerze, że Twoją definicję widzę pierwszy raz w życiu. Z pewnością istnieje jakaś odpowiedniość między iloczynem tensorowym dwóch przestrzeni wektorowych, a przestrzenią macierzy stosownych wymiarów (iloczyn dwóch wektorów zadaje macierz, tak jak napisałeś), ale raczej nie jest to izomorfizm (bo danej macierzy może odpowiadać wiele par wektorów). Uogólnienie tego na iloczyn tensorowy większej liczby przestrzeni dawałby nam wielowymiarowe macierze, co już jest dla mnie zbędną zabawą intelektualną, która kompletnie niczego nie wnosi.