Izomorfizm między przestrzeniami funkcji.

[matmatmm]

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest dowolnym zbiorem, \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), to wiadomo, że \(\displaystyle{ V^X}\), czyli zbiór funkcji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ V}\), tworzy przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ K}\). Idąc dalej można rozważać zbiór funkcji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ V^X}\), który w analogiczny sposób tworzy przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ K}\).

Wysuwam przypuszczenie, że \(\displaystyle{ \left( V^{X}\right)^{X}\simeq V^{X^{2}}}\).

Podejrzewam, że te przestrzenie są równoliczne, co wynikałoby z takiej własności liczb kardynalnych
\(\displaystyle{ \left( \mathfrak{a}^\mathfrak{b}\right)^\mathfrak{c}= \mathfrak{a}^{\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{c}}}\)
, chociaż nie mam pewności, że ta własność jest prawdziwa. Tym bardziej, jeśli jest prawdziwa, to nie znam jej dowodu. I stąd też nie mam pojęcia jak skonstruować ewentualny izomorfizm.

[bartek118]

OK. Elementami \(\displaystyle{ (V^X)^X}\) są wszystkie odwzorowania \(\displaystyle{ F : X \rightarrow V^X}\), czyli każdemu \(\displaystyle{ x}\) przyporządkowujemy jakąś funkcję \(\displaystyle{ f_x = F(x)}\).

Teraz - elementami \(\displaystyle{ V^{X^2}}\) są funkcje \(\displaystyle{ g : X^2 \rightarrow V}\). Podejrzewam zatem, że można zadać izomorfizm w taki sposób:
\(\displaystyle{ F \mapsto h}\)
gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest zadane wzorem \(\displaystyle{ h(x,y) = f_x (y) = F(x)(y)}\). Można łatwo dowieść, że jest to bijekcja (można wskazać odwzorowanie odwrotne - bardzo analogicznie). Liniowość jest do sprawdzenia.