Czy wektory są liniowo zależne w przestrzeni dwuliniowej?

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ (V,\beta)}\) będzie przestrzenią dwuliniową nad dowolnym ciałem \(\displaystyle{ K}\). Od dłuższego czasu zastanawiam się nad taką rzeczą:

Jeśli \(\displaystyle{ z\in V}\) jest wektorem niezerowym oraz \(\displaystyle{ x,y\in V}\) są takie, że \(\displaystyle{ \beta(x,z)=\beta(y,z)=0}\), to czy stąd wynika, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liniowo zależne?

W przypadku zwykłej płaszczyzny interpretacja jest taka, że jeśli dwa wektory są prostopadłe do trzeciego to są do siebie równoległe i to oczywiście jest prawda. W żaden sposób jednak nie mogę tego udowodnić w przypadku ogólnej przestrzeni dwuliniowej.

Nie mam też nic przeciwko założeniu, że \(\displaystyle{ \beta}\) jest przemienne, jeśli będzie to potrzebne w dowodzie.-- 23 lip 2014, o 09:10 --Chyba coś wymyśliłem. Myślę, że właśność jest nieprawdziwa dla wymiarów większych niż 2.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ \beta}\) to funkcjonał dwuliniowy?

[matmatmm]

Tak.

[Kartezjusz]

Też tak myślę. Weźmy \(\displaystyle{ n-1}\) wektorów niezależnych i ich iloczyn wektorowy. dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\). Z jego definicji mamy że wektory są prostopadłe z iloczynem wektorowym, ale niezależne miedzy sobą