Macierz przekształcenia i baza jądra

[weronica007]

Znaleźć macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f:R^{4}\rightarrow R^{2}}\), dla którego \(\displaystyle{ Lin({[1,-1,1,0],[-1,-1,0,1]})}\) stanowi bazę jądra.

[Lider_M]

Po pierwsze

\(\displaystyle{ Lin({[1,-1,1,0],[-1,-1,0,1]})}\)

nie może stanowić bazy jądra. Bazą jądra są wektory, a nie przestrzeń generowana przez takowe.



Co do rozwiązania, niech \(\displaystyle{ M}\) oznacza macierz przekształcenia liniowego w bazach standardowych oraz niech \(\displaystyle{ u_1,u_2}\) stanowią bazę jądra.
Następnie można znaleźć \(\displaystyle{ u_3,u_4}\), które są lin. niezależne z \(\displaystyle{ u_1,u_2}\) i wtedy napisać równanie macierzowe:
\(\displaystyle{ M\cdot [u_1u_2u_3u_4]=[00v_1v_2]}\), gdzie \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) nie są wektorami zerowymi (spróbuj uzasadnić tę równość).

Zapis \(\displaystyle{ [a_1a_2]}\) oznacza macierz której kolumnami są współrzędne wektorów \(\displaystyle{ a_1,a_2}\) w bazach standardowych.

[janusz47]

1)
Znajdujemy bazę przestrzeni generowanej przez jądro przekształcenia \(\displaystyle{ lin\left(\left[ -1,1, 1, 0\right], \left[-1, -1, 0, 1\right]),}\)
rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ U:\left\{\begin{array}{cc} x_1-x_2+x_3 +0x_4=0\\ -x_1 -x_{2}+0x_3+x_4=0\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ B= \left[\left( -0.5, 0.5, 1, 0), (0.5, 0.5, 0, 1\right)\right]}\)

2)
Znajdujemy postać przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ f= \left[ -0.5x_1+0.5x_2+x_3+0x_4, \ \ 0.5x_1+0.5x_2+0x_3+x_4\right].}\)

3)
Znajdujemy macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\)
\(\displaystyle{ f(1,0,0,0) =(-0,5, 0,5),}\)
\(\displaystyle{ f(0,1,0,0)=(0,5,05),}\)
\(\displaystyle{ f(0,0,1,0)=(1,0),}\)
\(\displaystyle{ f(0,0,0,1)=(0,1).}\)

\(\displaystyle{ M_f=\left[\begin{array}{cccc}-0.5&0.5&1&0\\0.5&0.5&0&1 \end{array}\right].}\)