Witam, rozwiązuję sobie zadanie metodą eliminacji gaussa i stoję w martwym punkcie. Wyglada to tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&1 \left| 1\\1&2&2&-2 \left| 1\\2&3&1&-1 \left|2\end{bmatrix}}\)
Wykonałem takie działania:
\(\displaystyle{ W2 - W1}\)
\(\displaystyle{ W3 - W2 \cdot W1}\)
\(\displaystyle{ W3 - W2}\)
Wyszło:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&-1&1 \left| 1\\0&1&3&-3 \left| 0\\0&0&0&0 \left|0\end{bmatrix}}\)
Wiem, że trzeba ostatni wiersz skreślić, jednak nie mam pojęcia jak z tego odczytać teraz wynik?
Pozdrawiam i z góry dziękuję.
Eliminacja gaussa
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Eliminacja gaussa
Masz dwa swobodne parametry
(jeżeli się nie pomyliłeś w obliczeniach)
Które niewiadome nadają się na swobodne parametry
możesz sprawdzić wyznacznikiem
(jeżeli się nie pomyliłeś w obliczeniach)
Które niewiadome nadają się na swobodne parametry
możesz sprawdzić wyznacznikiem
-
MeonXT
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 7 lip 2014, o 10:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opolskie
- Podziękował: 5 razy
Eliminacja gaussa
Nie rozumiem, ciężko mi trochę z tym gaussem.
Licząc kolumny: X, Y, Z, W:
\(\displaystyle{ X + Y + (-Z) + W = 1}\)
\(\displaystyle{ Y - 3Z - 3W = 0}\)
\(\displaystyle{ Z=0}\)
\(\displaystyle{ W= {R}}\)(wszystkie liczby naturalne?)
Licząc kolumny: X, Y, Z, W:
\(\displaystyle{ X + Y + (-Z) + W = 1}\)
\(\displaystyle{ Y - 3Z - 3W = 0}\)
\(\displaystyle{ Z=0}\)
\(\displaystyle{ W= {R}}\)(wszystkie liczby naturalne?)
-
Marmat
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
Eliminacja gaussa
Macierz otrzymano poprawnie.
Wykonałbym jeszcze operację W1-W2
Otrzymasz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-4&4 \left| 1\\0&1&3&-3 \left| 0\\0&0&0&0 \left|0\end{bmatrix}}\)
Skreślamy ostatni wiersz i widać, że rząd macierzy i rząd macierzy rozszerzonej wynosi 2.
Z równości tych rzędów wynika, że istnieją rozwiązania układu.
Szukamy minora rzędu 2 macierzy otrzymanej, takiego by jego wyznacznik był różny od zera. Może to być na przykład minor:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end {bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0 \\0&1 \end{bmatrix}}\)
Niech niewiadome układu to po kolei np. x, y, z, t.
Minor odpowiada niewiadomym x , y.
Pozostawiamy je po lewej stronie, a pozostałe niewiadome przenosimy na drugą stronę równania i traktujemy jak parametry:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4z-4t+1\\ y=-3z+3t \end{cases}}\)
Istnieje więc nieskończenie wiele rozwiązań postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4z-4t+1\\ y=-3z+3t \end{cases}}\)
gdzie z,t są dowolnymi liczbami rzeczywistymi: \(\displaystyle{ z,t \in R}\).
Pozdrawiam.
Wykonałbym jeszcze operację W1-W2
Otrzymasz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-4&4 \left| 1\\0&1&3&-3 \left| 0\\0&0&0&0 \left|0\end{bmatrix}}\)
Skreślamy ostatni wiersz i widać, że rząd macierzy i rząd macierzy rozszerzonej wynosi 2.
Z równości tych rzędów wynika, że istnieją rozwiązania układu.
Szukamy minora rzędu 2 macierzy otrzymanej, takiego by jego wyznacznik był różny od zera. Może to być na przykład minor:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end {bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0 \\0&1 \end{bmatrix}}\)
Niech niewiadome układu to po kolei np. x, y, z, t.
Minor odpowiada niewiadomym x , y.
Pozostawiamy je po lewej stronie, a pozostałe niewiadome przenosimy na drugą stronę równania i traktujemy jak parametry:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4z-4t+1\\ y=-3z+3t \end{cases}}\)
Istnieje więc nieskończenie wiele rozwiązań postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=4z-4t+1\\ y=-3z+3t \end{cases}}\)
gdzie z,t są dowolnymi liczbami rzeczywistymi: \(\displaystyle{ z,t \in R}\).
Pozdrawiam.