czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 29 cze 2014, o 18:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Milowka
- Podziękował: 2 razy
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Takie oto zadanie, kto ma ochotę proszę pisać pomysły.
Mamy :
\(\displaystyle{ f : \RR ^{3} \rightarrow \RR ^{3}}\)
\(\displaystyle{ f(a,b,c) = (a + b + c,b + c,c).}\)
Udowodnić, że funkcja jest bijektywna i znaleźć \(\displaystyle{ f ^{-1}}\)
Wskazówka : \(\displaystyle{ \RR ^{3} = \RR \times \RR \times \RR = \lbrace (x,z,y) : x,y,z \in \RR \rbrace}\)
Mamy :
\(\displaystyle{ f : \RR ^{3} \rightarrow \RR ^{3}}\)
\(\displaystyle{ f(a,b,c) = (a + b + c,b + c,c).}\)
Udowodnić, że funkcja jest bijektywna i znaleźć \(\displaystyle{ f ^{-1}}\)
Wskazówka : \(\displaystyle{ \RR ^{3} = \RR \times \RR \times \RR = \lbrace (x,z,y) : x,y,z \in \RR \rbrace}\)
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Udowodnij, że jest to odwzorowanie liniowe. Jaki jest warunek konieczny i wystarczający bijektywności takiego odwzorowania. Ważne tu jest, że odwzorowuje \(\displaystyle{ \R^3}\) w \(\displaystyle{ \RR^3}\) (lub ogólnie \(\displaystyle{ \RR^n}\) w \(\displaystyle{ \RR^n}\)).
Wzór na odwzorowanie odwrotne łatwo wyznaczyć zapisując to odwzorowanie macierzowo.
Wzór na odwzorowanie odwrotne łatwo wyznaczyć zapisując to odwzorowanie macierzowo.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Nie trzeba wykazywać liniowości odwzorowania (choć jest ono liniowe) i można obyć się bez macierzy.
Do wykazania bijektywności odwzorowania należy nwykazać jego suriektywność i iniektywność.
Najpierw suriektywność.
Należy wykazać, że:
\(\displaystyle{ \forall(x,y,z) \in R^3 \exists (a,b,c) \in R^3 : f(a,b,c)=(x,y,z)}\)
Aby to wykazać rozpisujemy:
\(\displaystyle{ f(a,b,c)=(a+b+c,b+c,c)=(x,y,z)}\)
Porównujemy współrzędne wektorów:
\(\displaystyle{ a+b+c=x, \\
b+c=y,\\
c=z}\)
Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z=c, \\
b=y-z \\
a=x-y}\)
Stąd : \(\displaystyle{ f(x-y,y-z,z)=(x,y,z)}\)
Czyli funkcja jest suriekcją.
Przy okazji otrzymujemy wzór na odwzorowanie odwrotne:
\(\displaystyle{ f^{-1}(x,y,z)=(x-y,y-z,z)}\)
Teraz pokażmy, że f jest iniekcją, czyli, że:
\(\displaystyle{ \forall(a,b,c), (p,d,f) \in R^3 : [ f(a,b,c)=f(p,d,f)] \Rightarrow (a,b,c)=(p,d,f)}\)
Niech \(\displaystyle{ f(a,b,c)=f(p,d,f)}\) , czyli:
\(\displaystyle{ (a+b+c,b+c,c)=(p+d+f,d+f,f)}\)
Porównujemy współrzędne i rozwiązujemy układ równań.
Ostatecznie: \(\displaystyle{ a=p, b=d, c=f}\) , czyli funkcja jest iniekcją , a koniec końców jest bijekcją.
Pozdrawiam.
Do wykazania bijektywności odwzorowania należy nwykazać jego suriektywność i iniektywność.
Najpierw suriektywność.
Należy wykazać, że:
\(\displaystyle{ \forall(x,y,z) \in R^3 \exists (a,b,c) \in R^3 : f(a,b,c)=(x,y,z)}\)
Aby to wykazać rozpisujemy:
\(\displaystyle{ f(a,b,c)=(a+b+c,b+c,c)=(x,y,z)}\)
Porównujemy współrzędne wektorów:
\(\displaystyle{ a+b+c=x, \\
b+c=y,\\
c=z}\)
Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z=c, \\
b=y-z \\
a=x-y}\)
Stąd : \(\displaystyle{ f(x-y,y-z,z)=(x,y,z)}\)
Czyli funkcja jest suriekcją.
Przy okazji otrzymujemy wzór na odwzorowanie odwrotne:
\(\displaystyle{ f^{-1}(x,y,z)=(x-y,y-z,z)}\)
Teraz pokażmy, że f jest iniekcją, czyli, że:
\(\displaystyle{ \forall(a,b,c), (p,d,f) \in R^3 : [ f(a,b,c)=f(p,d,f)] \Rightarrow (a,b,c)=(p,d,f)}\)
Niech \(\displaystyle{ f(a,b,c)=f(p,d,f)}\) , czyli:
\(\displaystyle{ (a+b+c,b+c,c)=(p+d+f,d+f,f)}\)
Porównujemy współrzędne i rozwiązujemy układ równań.
Ostatecznie: \(\displaystyle{ a=p, b=d, c=f}\) , czyli funkcja jest iniekcją , a koniec końców jest bijekcją.
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 9 lip 2014, o 07:14 przez yorgin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych.
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Mamy \(\displaystyle{ f(a,b,c)=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\) i możemy zapisać to, oznaczając \(\displaystyle{ x=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\) jako \(\displaystyle{ f(x)=Ax}\). Tak więc, skoro \(\displaystyle{ \det A=1\ne 0}\), to (oznaczając dodatkowo \(\displaystyle{ y=Ax}\)), mamy \(\displaystyle{ A^{-1}y=x}\), co daje nam wzór na odwzorowanie odwrotne i zarazem dowodzi injektywności i surjektywności (skoro istnieje odwzorowanie odwrotne, to automatycznie odwzorowanie wyjściowe jest bijekcją). Wystarczy tylko znaleźć \(\displaystyle{ A^{-1}}\).
Wszystkie proponowane rozwiązania mają w podtekście liniowość. Przynajmniej narzędzia z nią związane. Można, owszem, z definicji, ale to jazda z Warszawy do Łodzi przez Wiedeń.
Wszystkie proponowane rozwiązania mają w podtekście liniowość. Przynajmniej narzędzia z nią związane. Można, owszem, z definicji, ale to jazda z Warszawy do Łodzi przez Wiedeń.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Rozwiązanie dane przez szw1710 jest bodaj najprostrzym możliwym. Więcej - pasuje do działu, w którym temat został umieszczony.
Tutaj jest straszna kolizja oznaczeń, więc powyższe póki co poprawnym rozwiązaniem nie jest.Marmat pisze: \(\displaystyle{ \forall(a,b,c), (p,d,f) \in R^3 : [ f(a,b,c)=f(p,d,f)] \Rightarrow (a,b,c)=(p,d,f)}\)
Niech \(\displaystyle{ f(a,b,c)=f(p,d,f)}\) , czyli:
\(\displaystyle{ (a+b+c,b+c,c)=(p+d+f,d+f,f)}\)
Porównujemy współrzędne i rozwiązujemy układ równań.
Ostatecznie: \(\displaystyle{ a=p, b=d, c=f}\) , czyli funkcja jest iniekcją , a koniec końców jest bijekcją.
Pozdrawiam.
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Ta kolizja znów taka straszna nie jest. Można się domyślić, o co autorowi chodzi. Zmiana oznaczeń z \(\displaystyle{ (p,d,f)}\) na \(\displaystyle{ (a_1,b_1,c_1)}\) likwiduje nieporozumienia.
A teraz przykład bez kolizji. Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ x:\RR\to\RR}\) daną wzorem \(\displaystyle{ x(f)=3f^5-5f^3}\). Wtedy \(\displaystyle{ x'(f)=15f^4-15f^2=15f^2(f-1)(f+1)}\). Badamy znak pochodnej i stwierdzamy, że funkcja \(\displaystyle{ x}\) ma w punkcie \(\displaystyle{ f=1}\) minimum lokalne równe zero, a w punkcie \(\displaystyle{ f=-1}\) maksimum lokalne też równe zero.
Jak się to czyta?
A teraz przykład bez kolizji. Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ x:\RR\to\RR}\) daną wzorem \(\displaystyle{ x(f)=3f^5-5f^3}\). Wtedy \(\displaystyle{ x'(f)=15f^4-15f^2=15f^2(f-1)(f+1)}\). Badamy znak pochodnej i stwierdzamy, że funkcja \(\displaystyle{ x}\) ma w punkcie \(\displaystyle{ f=1}\) minimum lokalne równe zero, a w punkcie \(\displaystyle{ f=-1}\) maksimum lokalne też równe zero.
Jak się to czyta?
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Moim zdaniem nie ma tu żadnej kolizji. Wszystko jedno, czy wektor przestrzeni oznaczymy przez (a,b,c) czy też \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\). Jest to tylko kwestia kosmetyczna. W podanym rozwiązaniu uniknąłem wyznaczania macierzy odwrotnej, co samo w sobie jest uciążliwe.
Podane przez szw1710 w przykładzie pochodne są źle obliczone.
Może stąd ten paradoks.
Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji złożonej :
\(\displaystyle{ \left( f^{5}\right)^{'}=5 f^{4}*f{'}}\).
Analogicznie z trzecią potęgą.
Pozdrawiam.
Podane przez szw1710 w przykładzie pochodne są źle obliczone.
Może stąd ten paradoks.
Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji złożonej :
\(\displaystyle{ \left( f^{5}\right)^{'}=5 f^{4}*f{'}}\).
Analogicznie z trzecią potęgą.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Tutaj nie ma żadnego paradoksu, tylko zmiana standardowych oznaczeń. \(\displaystyle{ f^{'} = 1}\)Marmat pisze: Podane przez szw1710 w przykładzie pochodne są źle obliczone.
Może stąd ten paradoks.
Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji złożonej :
\(\displaystyle{ \left( f^{5}\right)^{'}=5 f^{4}*f{'}}\).
Analogicznie z trzecią potęgą.
Pozdrawiam.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Serio?Marmat pisze:Moim zdaniem nie ma tu żadnej kolizji.
\(\displaystyle{ f(a,b,c)=f(p,d,f)}\)
Nie są. Przeczytaj uważnie, jak zdefiniował on funkcję, jak ją oznaczył i jak oznaczył argumenty. Za bardzo chyba przywykłeś do 'standardów'.Podane przez szw1710 w przykładzie pochodne są źle obliczone.
Jak widać wyżej, bez zrozumieniaszw1710 pisze: Jak się to czyta?
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 36 razy
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Przepraszam, rzeczywiście nie przeczytałem uważnie przykładu "na kolizję oznaczeń".
Zapis literek mógł sugerować pomyłkę. Poza tym ten przykład nie bardzo ma związek z zadanie.
Co do mojego rozwiązania to jest ono poprawne.
Żeby to pokazać rozwiązałem sposobem proponowanym przez szw1710.
Macierz odwrotna ma postać:
\(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Stąd: \(\displaystyle{ f^{-1}(x,y,z)=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=(x-y,y-z,z)}\)
A to jest wzór, który otrzymałem innym sposobem.
Jeśli nie wykazujemy liniowości odwzorowania, to powinniśmy wykazać, że jest to odwzorowanie odwrotne. Nie wierzmy na słowo honoru.
To, że macierz jest odwrotna nie oznacza, że odwzorowanie jest odwrotne.
Tak jest w przypadku odwzorowań liniowych.
A swoją drogą postać odwzorowania y=Ax jest to macierzowa postać odwzorowania liniowego. Każde takie odwzorowanie jest liniowe, a każde odwzorowanie liniowe posiada taką postać.
Pozdrawiam.
Zapis literek mógł sugerować pomyłkę. Poza tym ten przykład nie bardzo ma związek z zadanie.
Co do mojego rozwiązania to jest ono poprawne.
Żeby to pokazać rozwiązałem sposobem proponowanym przez szw1710.
Macierz odwrotna ma postać:
\(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Stąd: \(\displaystyle{ f^{-1}(x,y,z)=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=(x-y,y-z,z)}\)
A to jest wzór, który otrzymałem innym sposobem.
Jeśli nie wykazujemy liniowości odwzorowania, to powinniśmy wykazać, że jest to odwzorowanie odwrotne. Nie wierzmy na słowo honoru.
To, że macierz jest odwrotna nie oznacza, że odwzorowanie jest odwrotne.
Tak jest w przypadku odwzorowań liniowych.
A swoją drogą postać odwzorowania y=Ax jest to macierzowa postać odwzorowania liniowego. Każde takie odwzorowanie jest liniowe, a każde odwzorowanie liniowe posiada taką postać.
Pozdrawiam.
czy funckja jest bijektywna ? oraz odwrotność funkcji
Owszem, mój przykład nie był związany z odwzorowaniami liniowymi, a miał na celu pokazanie, że nie można się przywiązywać do oznaczeń. Był więc rodzajem dygresji.
Co do wyznaczenia odwzorowania odwrotnego: mając dwa odwzorowania \(\displaystyle{ f:A\to B}\) i \(\displaystyle{ g:B\to A}\) takie, że \(\displaystyle{ f\circ g=\text{id}_B}\) oraz \(\displaystyle{ g\circ f=\text{id}_A}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f,g}\) są wzajemnie odwrotne. Mamy więc od razu dowód bijektywności obu odwzorowań.
W "mojej" metodzie: wiemy, że odwzorowanie \(\displaystyle{ y=Ax}\) jest liniowe, więc jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa, od razu mamy \(\displaystyle{ x=A^{-1}y}\), co daje wzór na odwzorowanie odwrotne.
Co do wyznaczenia odwzorowania odwrotnego: mając dwa odwzorowania \(\displaystyle{ f:A\to B}\) i \(\displaystyle{ g:B\to A}\) takie, że \(\displaystyle{ f\circ g=\text{id}_B}\) oraz \(\displaystyle{ g\circ f=\text{id}_A}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f,g}\) są wzajemnie odwrotne. Mamy więc od razu dowód bijektywności obu odwzorowań.
W "mojej" metodzie: wiemy, że odwzorowanie \(\displaystyle{ y=Ax}\) jest liniowe, więc jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa, od razu mamy \(\displaystyle{ x=A^{-1}y}\), co daje wzór na odwzorowanie odwrotne.