eksponenta macierzy + odwrotna transformata Laplace'a

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Dividee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 9 paź 2011, o 09:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 16 razy

eksponenta macierzy + odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: Dividee »

Witam, Mam za zadanie wyznaczyć \(\displaystyle{ e^{At}}\) , gdzie A to macierz \(\displaystyle{ A=
\left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&-1\end{array}\right]}\)
.
Chciałem skorzystać z metody: \(\displaystyle{ e^{At} = \mathcal{L}^{-1} \{ (sI - A)^{-1} \}}\).
Więc wartości własne \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ - \sqrt{3}}\). Następnie wyliczylem:
\(\displaystyle{ (sI-A)^{-1} = \frac{1}{\det} \cdot \left[\begin{array}{ccc}s-1&0\\2&s-1\end{array}\right] \quad , \quad \det=(s- \sqrt{3})(s+ \sqrt{3})}\).
Dalej nie jestem pewien czy dobrze, ale założyłem, że odwrotna transformata Laplace'a z macierzy to macierz odwrotnych transformat, oraz odwrotna transformata z \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ 0}\).
Dalej już wynik: \(\displaystyle{ e^{At} = \left[\begin{array}{ccc}( \frac{3+\sqrt{3}}{6}\cdot e^{\sqrt{3}t} + \frac{3-\sqrt{3}}{6}\cdot e^{-\sqrt{3}t} )&0\\( \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot e^{\sqrt{3}t} - \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot e^{-\sqrt{3}t} )&(- \frac{3-\sqrt{3}}{6}\cdot e^{\sqrt{3}t} - \frac{3+\sqrt{3}}{6}\cdot e^{-\sqrt{3}t} )\end{array}\right]}\)

Czy podany sposób i rozumowanie jest dobre? Chodzi mi głownie o to, rachunki mogą zawierać jakieś pojedyncze błędy, ale nie o nie mi chodzi :)

edit: po przyjrzeniu się zadaniu już wiem, że mam złe wartości własne wyliczone, więc chciałbym tylkoe wiedzieć czy tok rozumowania sie zgadza :)
Ostatnio zmieniony 2 lip 2014, o 23:23 przez leszczu450, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wyznacznik to : \det
ODPOWIEDZ