Wymiar i baza Ker f

[BlackBomb]

Mam znaleźć wymiar i bazę Ker f, gdzie \(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R, f(x,y,z)= x+2y-z}\)

Nie wiem czy dobrze robię, ale rozumiem, że mam zrobić układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=0 \\
2y=0 \\
-z=0
\end{cases} \\}\)

Czyli \(\displaystyle{ B _{Kerf}=(0,0,0)}\)

A znaleźć wymiar?

[bartek118]

Źle robisz. Jądro to przeciwobraz zera. Masz policzyć: \(\displaystyle{ f^{-1} (0)}\)

[BlackBomb]

Dalej nie wiem czy dobrze rozumiem. Mam odwrotność tej macierzy przyrównać do zera?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&-1 \end {bmatrix}}\)

[Lider_M]

Masz rozwiązać \(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\), czyli \(\displaystyle{ x+2y-z=0}\).

[BlackBomb]

Pogubiłem się ponieważ definicje z książki mi bardziej mieszają niż pomagają. Z tego równania mogę zrobić tak, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=0 \\ x=z \end{cases}}\)

Czyli \(\displaystyle{ B_{Kerf}=x(1,0,1)}\)

Czy dalej pisze głupoty?

[bartek118]

Dalej piszesz głupoty; tak jak Lider_M napisał - rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x+2y-z=0}\).

[BlackBomb]

Rozwiązaniem tego równania nie jest:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=0 \end{cases} \\}\)
?

[Lider_M]

Jest, ale masz znaleźć wszystkie rozwiązania tego równania.

Z podane równania mamy np. \(\displaystyle{ x=-2y+z}\), więc wszystkie wektory \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) należące do jądra są postaci \(\displaystyle{ (-2y+z,y,z)}\), stąd wyznacz bazę oraz wymiar jądra.

[BlackBomb]

Czyli \(\displaystyle{ B_{Kerf}=y(-2,1,0)}\) i \(\displaystyle{ B_{Kerf}=z(1,0,1)}\) ? Z czego wynika, że jej wymiar jest równy 2?

[Lider_M]

Nie ma dwóch różnych baz złożonych z jednego wektora, do tej bazy należą dwa niezależne wektory.

[BlackBomb]

Czyli jak mam to zapisać? Już się zupełnie pogubiłem i nie za bardzo już wiem w którym kierunku iść.

[Tytanowy Janusz]

Po prostu: \(\displaystyle{ B=\left\{(-2,1,0),(1,0,1) \right\}}\).
Wymiar bazy jest więc równy 2. Gdyby te wektory były liniowo zależne, to baza składałaby się tylko z jednego z nich, a jej wymiar wynosiłby 1.

[BlackBomb]

Dziękuję bardzo, muszę nad tym poćwiczyć bardziej.