Witam,
Potrzebuję pomocy z poniższymi zadaniami - mam na nie odpowiedzieć z uzasadnieniem. Będę wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki/rozwiązania.
1. Niech \(\displaystyle{ (V)}\) będzie przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb R}\) i \(\displaystyle{ dimV \ge 2}\). Czy dla każdych niezerowych wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2} \in V}\) istnieje taki zachowujący orientację izomorfizm \(\displaystyle{ \phi : V \rightarrow V}\), że \(\displaystyle{ \phi(\alpha_{1}) = \alpha_{2}}\) ?
2. Niech \(\displaystyle{ (V,h)}\) będzie przestrzenią dwuliniową nad ciałem liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb R}\) i niech \(\displaystyle{ A}\) będzie bazą \(\displaystyle{ V}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ G(h;A)}\) jest kongruentna nad \(\displaystyle{ \mathbb R}\) do macierzy jednostkowej \(\displaystyle{ I}\). Czy \(\displaystyle{ h}\) jest iloczynem skalarnym?
3. Niech \(\displaystyle{ (V,h)}\) będzie trójwymiarową przestrzenią dwuliniową, \(\displaystyle{ A=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})}\) bazą \(\displaystyle{ V}\) taką, że \(\displaystyle{ det(G(h;A)) < 0}\). Czy istnieje baza prostopadła \(\displaystyle{ B = ( \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3})}\) przestrzeni \(\displaystyle{ (V,h)}\) taka, że \(\displaystyle{ h(\beta_{1},\beta_{1}) = h(\beta_{2},\beta_{2}) = -1, h(\beta_{3},\beta_{3}) = 1}\)?
4. Niech \(\displaystyle{ (V,h)}\) będzie nieosobliwą przestrzenią dwuliniową. Czy istnieje taki niezerowy wektor \(\displaystyle{ \alpha \in V}\), że \(\displaystyle{ h(\alpha,\beta) = 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ \beta \in V}\) ?
Z góry dziękuję i pozdrawiam.-- 30 cze 2014, o 21:44 --W zadaniu drugim wystarczy wywnioskować, że skoro obie macierze przedstawiają ten sam endomorfizm tylko w różnych bazach, to znaczy, że G musi być tak samo jak określona jak I (dodatnio) i symetryczna? Tylko co wtedy z liniowością?