Kronecker-Capelli - liczba rozwiązań

[logic13]

\(\displaystyle{ \begin{cases}x + 2y + z - t = 0 \\ 3x +3y + 2z = 6 \\ 2y + z = -1 \\ 5x + 9y + 5z - 2t = 5 \end{cases}}\)

1. Muszę określić liczbę rozwiązań i liczbę parametrów

2. Sprowadzić macierz uzupełnioną układu do postaci zredukowanej i rozwiązać układ równań

Dzięki wielkie z góry za pomoc

[kerajs]

Wpierw policz rząd macierzy głównej i uzupełnionej (dołączonej)
W tworzeniu macierzy trójkątnej /trapezowej działaj wyłącznie na wierszach.
Co Ci wyszło?
Jesli rzędy są rózne to brak rozwiązania.
Gdy oba rzędy wynoszą 4 to masz dokładnie 1 rozwiązanie.
Gdy oba rzędy są równe ale ta wartość jest mniejsza od ilości niewiadomych to masz nieskończenie wiele rozwiązań. Parametrami staja sie te niewiadome których współczynniki nie brały udziału w liczeniu rzędu.

[logic13]

Wyszło mi, że macierz główna ma rząd = 4, więc uzupełniona w tym przypadku też.
Czyli mam dokładnie jedno rozwiązanie, tak?

Teraz, ile mam parametrów? I co robić dalej, żeby rozwiązać układ

[waliant]

skoro dokładnie jedno rozwiązanie to nie masz żadnych parametrów, koniec.

[logic13]

A gdybym miał więcej rozwiązań

[kerajs]

Liczba parametrów = ( liczba niewiadomych ) - (rząd)

[waliant]

\(\displaystyle{ r=rzA=rzU}\)

\(\displaystyle{ n}\) liczba niewiadomych

\(\displaystyle{ m}\) liczba równań

\(\displaystyle{ r=n}\) dokładnie jedno rozwiązanie

\(\displaystyle{ r<n}\) nieskończenie wiele rozwiązań z \(\displaystyle{ n-r}\) parametrów

[logic13]

Ok czyli wyszło mi, że wyznacznik = 7, rząd = 4, parametrów brak i jest jedno rozwiązanie.

Teraz muszę sprowadzić to do postaci zredukowanej i rozwiązać układ.-- 30 cze 2014, o 21:32 --Redukuję macierz główną czy uzupełnioną?

[kerajs]

Uzupełnioną (choć przy okzji robisz to z główną).

Jeśli porządnie liczyłeś rząd (tzn że przekształcałeś macierz do macierzy trójkątnej/trapezowej/schodkowej) to już masz postać zredukowaną macierzy. Wystarczy teraz z niej napisać układ równań i obliczyć niewiadome (jest to metoda eiminacji Gaussa).