Dowód z iloczynem skalarnym

[dreamzzz]

Witam,

Potrzebuję pomocy z dowodem następującego zadania:

Pokazać, że rzeczywista macierz symetryczna \(\displaystyle{ A \in M_{N \times N} (\mathbb R)}\) jest macierzą iloczynu skalarnego wtedy i tylko wtedy gdy macierz \(\displaystyle{ A^{7}}\) jest macierzą iloczynu skalarnego.

Domyślam się, że w tym wypadku chodzi po prostu o to, że ta potęga musi być nieparzysta. Wystarczy mi chociaż jakaś wskazówka, która pewnie jest oczywista a jej w tym momencie nie widzę

Z góry dziękuję i pozdrawiam.

[szw1710]

Sprawdź jak to jest z przenoszeniem się dodatniej określoności przy a) potęgowaniu - potęga nieparzysta i parzysta (to pewnie się nie przeniesie), b) wyznaczeniu macierzy odwrotnej. Wtedy masz zadanie zrobione. Czy rozumiesz dlaczego?

[robertm19]

Ja tu widzę taką zależność
macierz symetryczna i dodatnia określoność = dodatnie wartości własne i macierz diagonalna.

[szw1710]

No i kryterium (...) kogo?

[dreamzzz]

Aaaa, ok, rozumiem już. Skoro mamy dodatnie wartości własne, to macierz podniesiona do dowolnej potęgi dalej pozostawi nam dodatnie wartości własne, więc z kryterium Sylvestera macierz \(\displaystyle{ A^{7}}\), też jest dodatnio określona i symetryczna. A co z dowodem w drugą stronę?

[szw1710]

Diagonalizacja. Jak teraz policzyć pierwiastek \(\displaystyle{ 7}\) stopnia z macierzy diagonalnej?

[dreamzzz]

Musimy teraz pomnożyć przez \(\displaystyle{ A^{-6}}\) żeby dostać macierz \(\displaystyle{ A}\)? A nieparzyste potęgi dowolnej macierzy muszą zachować określoność, a skoro \(\displaystyle{ A^{7}}\) była dodatnio określona, to \(\displaystyle{ A}\) też musi być dodatnio określona. Dobrze rozumiem? Oczywiście symetryczność też zostaje zachowana przy odwracaniu macierzy.

[szw1710]

Też może być.

[dreamzzz]

Ok, cieszę się. Dzięki wielkie za pomoc!