Macierz odwzorowania

[puma941]

a) Niech \(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{3}}\) będzie odwzorowaniem liniowym, we współrzędnych kanonicznych dane wzorem \(\displaystyle{ f(x,y,x) = (x+y-z,2x+z,2x-y)}\). Zapisz macierz odwzorowania \(\displaystyle{ f^{-1}}\) w bazie standardowej i znajdź wartość \(\displaystyle{ f ^{-1}(v)}\) , gdzie \(\displaystyle{ v=(-1,0,1)}\).

b) Niech \(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{2}}\) będzie odwzorowaniem liniowym, określone wzorem \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(2x-y-3z,2x+y+z)}\), a odwzorowanie \(\displaystyle{ g: R^{2} \rightarrow R^{3}}\) określone wzorem \(\displaystyle{ g(x,y)=(2x-y,2x+y,x-y)}\).
Zapisz macierz odwzorowania \(\displaystyle{ g \cdot f}\) w bazie standardowej. Oblicz wartość \(\displaystyle{ g \cdot f(v)}\), gdzie v=(1,0,-1).

[yorgin]

a) Wyznacz macierz \(\displaystyle{ f}\). Odwróć ją, to dostaniesz macierz \(\displaystyle{ f^{-1}}\).

b) Wyznacz obie macierze i je przez siebie pomnóż.

Co to jest \(\displaystyle{ g\cdot x}\) ?

[puma941]

Błąd - powinno być \(\displaystyle{ g \cdot f}\).

a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2&0&1\\2&-1&0\end{array}\right]}\)
tak będzie wyglądać macierz \(\displaystyle{ f}\) ?
Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ f^{-1}}\) ?

[yorgin]

Macierz jest poprawna.

Macierz \(\displaystyle{ f^{-1}}\) to macierz odwrotna do macierzy \(\displaystyle{ f}\). Potrafisz odwracać macierze?

[puma941]

Potrafię.
Obliczyłam, że \(\displaystyle{ f^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{5} &\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\\\frac{2}{5}&\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\\\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{array}\right]}\)

Jak teraz obliczyć \(\displaystyle{ f ^{-1}(v)}\) ? Po prostu pomnożyć poszczególne kolumny przez \(\displaystyle{ v}\) ?

\(\displaystyle{ f^{-1}(v)=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{5} &0&\frac{1}{5}\\\\-\frac{2}{5}&0&-\frac{3}{5}\\\\\frac{2}{5}&0&-\frac{2}{5}\end{array}\right]}\) ?

[yorgin]

Macierz odwrotna jest ok.

\(\displaystyle{ f^{-1}(v)}\) obliczasz tak, jakbyś mnożyła przez siebie dwie macierze. Pamiętaj tylko, by \(\displaystyle{ v}\) zapisać jako kolumnę. W wyniku mnożenia dostaniesz również kolumnę.

[puma941]

W podpunkcie b) wyszło mi:

\(\displaystyle{ f(v)=(5, 1)}\),
a \(\displaystyle{ g \cdot f(v)=(9,11,4}\)).

Mógłby ktoś sprawdzić czy jest dobrze?

[yorgin]

Mnie wyszło to samo.