Znaleźć wzór odwzorowania z wielomianami

[Poszukujaca]

Znajdź odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: R[x]_{3} \rightarrow R[x]_{2}}\) takie, że:
\(\displaystyle{ f(x^{3})=6x^{2}-12}\)
\(\displaystyle{ f(x^{2})=x+1}\)
\(\displaystyle{ f(x)=0}\)
\(\displaystyle{ f(x^{3}+6)=0}\)

[a4karo]

Wsk: \(\displaystyle{ f(6)=f(x^3+6-x^3)=f(x^3+6)-f(x^3)}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(1)=f(6)/6}\).

[Poszukujaca]

Mogę napisać, że:

\(\displaystyle{ f(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)=f(ex^{2}+fx+g)}\)

\(\displaystyle{ f(6)=12-6x^{2}}\)

Ale co dalej?

W jaki sposób dojść do wzoru odwzorowania?

[Edward W]

Mogę napisać, że:

\(\displaystyle{ f(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)=f(ex^{2}+fx+g)}\)

Ja powyższego zapisu nie bardzo rozumiem [nie twierdzę, że jest niepoprawny, może ktoś inny będzie wiedział, o co chodzi].

Mamy: \(\displaystyle{ f(1)\stackrel{*}{=}\frac{1}{6}\cdot f(6)=\frac{1}{6}(12-6x^2)=2-x^2}\), a ponadto:

\(\displaystyle{ f(ax^3+bx^3+xc+d)\stackrel{*}{=}af(x^3)+bf(x^2)+cf(x)+d(1)}\).

* - z własności przekształcenia liniowego.

[Poszukujaca]

Mój zapis miała pokazywać, że odwzorowanie przyporządkowuje wielomianom trzeciego stopnia poszczególne wielomiany drugiego stopnia.

Nie rozumiem jaki sens jest w takim zapisie:

\(\displaystyle{ f(ax^3+bx^3+xc+d)\stackrel{*}{=}af(x^3)+bf(x^2)+cf(x)+d(1)}\).

* - z własności przekształcenia liniowego.

Jak napisałam coś takiego:

\(\displaystyle{ f(x^{3})=6x^{2}-12=\alpha_{1}x^{2}+\beta_{1}x+\gamma_{1}}\)

\(\displaystyle{ f(x^{2})=x+1=\alpha_{2}+\beta_{2}+\gamma_{2}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=0}\) czyli wszystkie współczynniki są zerowe

\(\displaystyle{ f(1)=2-x^{2}=\alpha_{4}+\beta_{4}+\gamma_{4}}\)

Mogę teraz zapisać macierz tego odwzorowania z bazy kanonicznej w bazę kanoniczną:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&0&0&6\\0&0&1&0\\2&0&1&-12\end{array}\right]}\)

Czy zrobiłam poprawnie?

Nadal jednak pozostaje problem, jak zapisać wzór takiego odwzorowania..

[Edward W]

Nie widzę potrzeby błądzenia w jakichś macierzach. Mamy (po wprowadzeniu małej poprawki do tego, co wcześniej napisałem - ostatni składnik miał być oczywiście iloczynem \(\displaystyle{ d}\) przez obraz jednomianu stałego \(\displaystyle{ 1}\) przez naszą funkcję):

\(\displaystyle{ af(x^3)+bf(x^2)+cf(x)+df(1) = a(6x^2-12)+b(x+1)+c(0)+d(2-x^2)=(6a-d)x^2+bx-12a+b+2d}\)

[Poszukujaca]

A mogę jeszcze prosić o jakiś komentarz - dlaczego można napisać tak, a nie inaczej?
Nie rozumiem.

[Lider_M]

Gdy jednak pracujesz na macierzach, to dobrze wiedzieć, że baza standardowa np. \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\) to \(\displaystyle{ (1,x,x^2)}\) a nie \(\displaystyle{ (x^2,x,1)}\), bo trochę źle zapisałaś macierz przekształcenia w bazach standardowych.

[Edward W]

A o która konkretnie część chodzi?

Bo skoro \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe, to:
\(\displaystyle{ f(ax^3+bx^2+cx+d) = f(ax^3)+f(bx^2)+f(cx)+f(d) =\\ af(x^3)+bf(x^2)+cf(x)+df(1)}\)

powyższa równość jest chyba oczywista i wynika bezpośrednio z własności przekształcenia liniowego. A że znamy obrazy wektorów \(\displaystyle{ x^3, x^2, x, 1}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\), to możemy już wywnioskować jaki jest wzór. Ostatecznie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f(ax^3+bx^2+cx+d) = (6a-d)x^2+bx-12a+b+2d}\), co jest własnie szukanym wzorem.

Możemy jeszcze sprawdzić dla pewności. Weźmy np. wektor \(\displaystyle{ x^3}\). Szukamy jego obrazu przez \(\displaystyle{ f}\).:

\(\displaystyle{ f(x^3)=f(1x^3+0\cdot x^2+0\cdot x+0\cdot 1) = (6\cdot1-0)x^2+0\cdot x-12\cdot 1+2\cdot0 = 6x^2-12}\), czyli tak, jak powinno być [porównać z autorskim postem].

[Poszukujaca]

Gdy jednak pracujesz na macierzach, to dobrze wiedzieć, że baza standardowa np. \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\) to \(\displaystyle{ (1,x,x^2)}\) a nie \(\displaystyle{ (x^2,x,1)}\), bo trochę źle zapisałaś macierz przekształcenia w bazach standardowych.

A czy kolejność tutaj nie jest obojętna?

Już rozumiem. Nasz wzór wyrażamy poprzez wartości wektorów z bazy kanonicznej.

[Edward W]

Trzeba pamiętać, że baza danej przestrzeni to zbiór uporządkowany i kolejność jak najbardziej ma tutaj znaczenie, tym bardziej, jeśli przypomnimy sobie, że każdy wektor danej przestrzeni jest jednoznacznie określony w postaci kombinacji liniowej bazy rozpatrywanej przestrzeni. Jeśli więc zmienimy kolejność elementów naszej bazy, to współrzędne danego wektora również się zmienią w stosunku co do poprzedniej bazy.